Что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования

У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

• обладает сложной структурой при любом увеличении;
• является (приближенно) самоподобной;
• обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической;
• может быть построена рекурсивными процедурами.

На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт .

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Далее: Геометрические фракталы

Фракталы — геометрия и искусство

Одновременно с выходом в свет книги «Фрактальная геометрия природы» (1977 год) фракталы получили всемирную известность и популярность.

Термин «фрактал» не является математическим понятием и в связи с этим не имеет строгого общепринятого математического определения. Более того, термин фрактал употребляется относительно любых фигур, обладающих какими-либо из нижеперечисленных свойств:

• Нетривиальная структура на всех шкалах. Это свойство отличает фракталы таких регулярных фигур, как окружность, эллипс, график гладкой функции и т.п.

• Увеличение масштаба фрактала не приводит к упрощению его структуры, то есть на всех шкалах мы видим одинаково сложную картину, в то время, как при рассмотрении регулярной фигуры в крупном масштабе, она становится подобна фрагменту прямой.

• Самоподобие или приближенное самоподобие.

• Метрическая или дробная метрическая размеренность, значительно превосходящая топологическую.

• Построение возможно лишь с помощью рекурсивной процедуры, то есть определение объекта или действия через себя.

Таким образом, фракталы можно разделить на регулярные и нерегулярные. Первые являются математической абстракции, то есть плодом воображения. К примеру, снежинка Коха или треугольник Серпинского. Вторая разновидность фракталов является результатом природных сил или деятельности человека. Нерегулярные фракталы, в отличие от регулярных сохраняют способность к самоподобию в ограниченных пределах.

С каждым днем фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике — они как нельзя лучше описывают реальный мир. Приводить примеры фрактальных объектов можно бесконечно долго, они повсюду окружают нас. Фрактал как природный объект представляет собой яркий пример вечного непрерывного движения, становления и развития.

Фракталы нашли широкое применение в компьютерной графике для построения изображения природных объектов, например, деревьев, кустов, горных массивов, поверхностей морей и прочее. Эффективным и успешным стало использование фракталов в децентрализованных сетях. К примеру, система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Благодаря чему, каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, более того любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, активно применяется в сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации обеспечивает максимально устойчивую работу всей сети.

Весьма перспективным является использование фрактальной геометрии при проектировании «фрактальных антенн».
В настоящее время фракталы стали активно использоваться в нанотехнологиях. Особенно популярны фракталы стали у трейдеров. С их помощью экономисты производят анализ курса фондовых бирж, вальных и торговых рынков. В нефтехимии фракталы применяются для создания пористых материалов. В биологии фракталы используются для моделирования развития популяций, а также для описания систем внтренних органов. Даже в литературе фракталы нашли свою нишу. Среди художественных произведений были найдены произведения с текстуальной, структурной и семантической фрактальной природой.

/БДЭ математика/

Фрактал — это… Что такое Фрактал?

Фрактальная форма кочана капусты сорта Романеско (Brassica oleracea)

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Термин

Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
• Является самоподобной или приближённо самоподобной.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например,функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть  — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения  — отображения подобия, а  — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского и отображения , ,  — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .

В случае, когда отображения  — преобразования подобия с коэффициентами , размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем .

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Ещё одно множество Жюлиа

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z₀ — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z₀, z₁=F(z₀), z₂=F(z₁), z₃=F(z₂), …

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,
• стремиться к конечному пределу,
• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z₁, z₂, z₃, z₁, z₂, z₃, …
• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z₀, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z²+c (или другой похожей функции), то есть тех значений z₀, для которых поведение последовательности {z_n} может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z₀.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность {z_n} демонстрирует определённое поведение при фиксированном z₀. Так, множество Мандельброта — это множество всех , при которых {z_n} для F(z)=z²+c и z₀ не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления {z_n} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором |z_n| превысит фиксированную большую величину A.

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

В природе

Вид спереди на трахею и бронхи

• Бронхиальное дерево
• Сеть кровеносных сосудов
• Деревья
• Молния

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован^{[источник не указан 779 дней]} фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Экономика и финансы

А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс.

Галерея

См. также

Литература

• А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Цицин Ф.А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — №11(3) — 1997.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Маврикиди Ф.И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — №23(3) — 2000.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-8459-0922-8
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Маврикиди Ф.И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — №54(2) — 2008.

Ссылки

• Надежда Атаева, Фрактальные множества (Санкт-Петербургский государственный университет: ПМ-ПУ)
• Обаяние самоподобия. Лампочка Мандельброта и многое другое в галерее фракталов от Ленты. Ру // Лента. Ру, 27 фото.
• «Фракталы. Поиски новых размерностей» (англ. Fractals. Hunting The Hidden Dimension) — научно-популярный фильм, снятый в 2008 г.
• Фракталы на Элементы.ру

Созерцание великого фрактального подобия / Блог компании Mail.ru Group / Хабр

(

с

) «Галактика галактик»

Фракталы — не просто красивое природное явление. Согласно проведенным исследованиям, рассматривание фрактальных структур на 60 % повышает стрессоустойчивость, измеряемую на основе физиологических показателей. При созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.

Неудивительно, что фрактальный биодизайн оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Нам нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке… Как это работает? Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз — фрактальный. При совпадении размерности траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.

Но не все фракталы одинаково полезны. В данной статье расскажем о фрактальной размерности и о её влиянии на здоровье.

Биофракталы

(

с

)

Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек. Каждый фрактал имеет математическую размерность D. Для человека наиболее полезны фракталы с размерностью 1,3—1,5, и большинство фрактальных объектов, созданных природой, имеют именно такую размерность. А глаз человека эстетически «настроен» на восприятие как раз таких, встречающихся в природе фракталов.

(с)

Прекрасным примером фракталов в природе являются деревья. Фракталы можно обнаружить на каждом уровне лесной экосистемы — от семян и сосновых шишек до ветвей и листьев. На иллюстрации выше запечатлена «застенчивая крона» — явление, когда кроны деревьев не соприкасаются, формируя локальные участки лесного полога.

С биологической точки зрения такое расположение крон объясняется естественным отбором — листья расположены как можно дальше друг от друга, чтобы максимизировать доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету для фотосинтеза.

(с)

Итальянская капуста романеско имеет сверхэффективную конструкцию, позволяющую максимизировать воздействие солнечного света и транспортировать питательные вещества по всей клеточной структуре растения.

(с)

Однако размерность этой капусты — 2,66. Вообще, дробная размерность является ключевой особенностью фракталов. При этом большинство из них находится в плоскости между линией (размерность 1) и двухмерной поверхностью (размерность 2). Чем выше показатель, тем больше движение в сторону трехмерных объектов (размерность 3).

Компьютерные игры

Трехмерные фракталы — одни из самых редких в природе. Гораздо проще встретить их в виртуальной реальности. Например, в игре Marble Marcher — уникальной аркаде, где нужно прокатить шар к цели в пространстве, созданном единым всеобъемлющим алгоритмом. Практически все, что вы увидите в игре, создано не дизайнерами, а чистой математикой.

Yedoma Globula — это 3D-песочница на самописном движке, в которой можно исследовать процедурно создаваемые фрактальные ландшафты.

Фрактальные формулы можно использовать в компьютерной графике для создания реалистичных гор, рек, лесов и облаков. Игра Everything пошла гораздо дальше: в ней помимо визуальной составляющей в системообразующей части геймплея использовано фрактальное подобие. Тут фактически нет NPC-персонажей. Вы можете начать игру в образе свиньи, которая бродит по зеленым склонам и встречает дуб, а затем стать дубом, который отправится в самостоятельное путешествие.

Гаджеты

(

с

)

Использовать фракталы как «что-то полезное» можно не только в компьютерных играх или для релаксации. Именно фракталы подсказали способ уменьшения размера антенн для сотовых телефонов. Фрактальная геометрия расширяет способность создавать новые, более практичные устройства.

Сейчас фракталы используются в новом поколении спутниковой связи, в устройствах IoT и других проектах приема, передачи и преобразования радиоволн.

Архитектура

(

с

)

Фракталы можно использовать даже неосознанно. На фото выше изображен фрагмент купола иранской мечети. А здесь вы найдете множество фотографий потолков школ, культурных и религиозных сооружений в Иране, которые демонстрируют невероятно сложные фрактальные рельефы и мозаики, декорирующие изысканные архитектурные элементы.

(с)

Храм Деви Джагадамби в Кхаджурахо — отличный пример фрактальной архитектуры. Индийские и многие другие храмы Юго-Восточной Азии имеют фрактальную структуру: главная башня окружена башнями меньшего размера, те в свою очередь — еще более маленькими башнями. И так до восьми (а порой и больше) уровней, представляющих различные аспекты индуистского мифологического пантеона.

(с)

Фракталы в архитектуре — не уникальное изобретение одной части света. Сложное убранство готической, ренессансной и барочной архитектуры, особенно выраженное в соборах, часто демонстрирует фрактальное копирование и масштабирование на нескольких уровнях. Характерное для европейской архитектуры с конца XII в. переплетение арок скорее имело не эстетическое, а практическое значение: оно было разработано для укрепления окон и стен против давления ветра.

(c)

С конца XX века фрактальную геометрию использовали осознанно для создания интересных и приятных глазу фасадов. На фото — здание одного из самых сложных в архитектурном плане комплексов, расположенное в мельбурнском городском районе (Австралия). В комплексе объединены культурные, рекреационные и коммерческие проекты.

Опасные фракталы

(

с

)

Большинство фрактальных изображений, генерируемых математическими, естественными и человеческими процессами, обладают общим эстетическим качеством, основанным на визуальной сложности. Участники тестов визуального восприятия предпочитают фракталы именно естественного происхождения с размерностью 1,3—1,5. Для примера: волны и облака имеют размерность 1,3, береговая линия — 1,05.

(с)

А что, если увеличить размерность? Получившийся объект не всегда будет приятно разглядывать. На иллюстрации выше изображена картина распределения электрического разряда с размерностью 1,75, известная как фигура Лихтенберга, созданная высоковольтным электрическим разрядом на непроводящем материале.

Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп.

Демосцена & софт

Пожалуй, нигде так красочно не исследовали мир фракталов, как в демосцене. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев.

А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене. К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое (из-за давности лет), но демо можно

скачать

и запустить на компьютере.

Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной.

XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов.

JWildfire. Еще одна кроссплатформенная (в том числе с мобильной версией) программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.

Mandelbulber | Mandelbulb3D. Превосходные бесплатные инструменты для создания трехмерных фракталов, таких как устрашающая Оболочка Мандельброта, загадочная «коробка» Мандельбокс и др. Mandelbulber несколько более функционален и быстр, но Mandelbulb3D чуть проще в использовании.

По ссылке вы найдете множество других программ.

Заключение

Исследование фракталов

началось

в 1975 году. То есть фактически мы только приступили к изучению этой огромной и неизведанной территории. Фракталы выходят за рамки чистой математики, искусства, схожего с музыкой и поэзией, или практического инструмента решения прикладных задач. Они могут дать гораздо больше: например, объяснить явления, находящиеся вне нашего понимания при текущем развитии науки. Вся фрактальная космология строится на теории бесконечности пространства Вселенной и распределении в нем астрономических объектов по принципу фрактальной размерности (в диапазоне от 2 до 3).

Фракталы — это бунт против матанализа (3Blue1Brown) / Хабр

Фракталы — это самоподобные штуковины. Не совсем так.

Идея Мандельброта была шире. Как моделировать природу с учетом неровностей? В некотором роде, фрактальная геометрия — это бунт против классического матанализа, основная идея которого, что все будет очень гладким, если достаточно увеличить. Мандельброту это показалось чересчур идеальным, бесполезно абстрактным.

Настоящая идея фрактала имеет отношение к дробной размерности.

Дробная размерность

Многим кажется, что размерность имеет смысл только для натуральных чисел.

Рассмотрим 4 самоподобные фигуры:

Составная часть каждой фигуры является точной копией целого.

Какое слово обобщает идею длины, площади и объема? Обычно используется слово «мера» (measure), но для наглядности можно говорить о «массе». Представим, что все упомянутые фигуры сделаны из металла. Фрактальная размерность связана с тем, как меняется масса фигур, когда вы их масштабируете.

Самоподобные фигуры дает четкое понимание того, как сравнивать «массы».

Когда вы уменьшаете масштаб отрезока в 2 раза, «масса» уменьшается в 2 раза (2¹).

Когда вы уменьшаете масштаб квадрата в 2 раза, масса уменьшается в 4 раза (2²).

Уменьшая масштаб куба в 2 раза, масса уменьшается в 8 раз (2³).

Для треугольника Серпинского при уменьшении масштаба в 2 раза очевидно, что масса уменьшается в 3 раза (2^?):

Тогда размерность треугольника Серпинского = log₂(3) ≈ 1,585

«Длина» и «площадь» для треугольника Серпинского не совсем подходящие параметры. «Длина» треугольника Серпинского = ∞, «площадь» = 0. Нам нужен 1,585 мерный аналог длины(площади).

Кривая фон Коха состоит из 4 собственных копий:

Когда масштаб уменьшается в 3 раза, «масса» уменьшается в 4 раза. Тогда размерность кривой фон Коха = log₃(4) ≈ 1,262

Следующая фигура состоит из 8 своих копий:

Уменьшая масштаб в 4 раза, «масса» уменьшится в 8 раз. Размерность = log₄(8) ≈ 1,5

«Масса» подходит только для самоподобных фигур. Но это слишком ограничено. Большинство двумерных фигур не самоподобны.

«Масса» круга при уменьшении масштаба уменьшается в 4 раза. Но мы никак не можем составить из 4 маленьких кругов один большой.

Можно использовать метод сетки:

Если взять зерно сетки поменьше, получим более точный результат:

Увеличение количества затронутых клеточек идет как вторая степень от увеличения масштаба.

Для треугольника Серпинского:

Увеличение количества затронутых клеточек идет как как степень 1,585 от увеличения масштаба.

Для береговой линии:

Увеличение количества затронутых клеточек идет как как степень 1,21 от увеличения масштаба.

При переходе к логарифмической шкале, график будет стремиться к прямой, и важен угол ее наклона, но не для всех фигур это будет прямая с постоянным углом наклона.

Различные точки на графике и усредненная прямая, которая им соответствует- это эмпирическое значение размерности.

Итак, фракталы — это фигуры, размерность которых — не целое число. У нас есть качественный способ сказать, что фигура неровная и будет оставаться неровной, если её увеличить.

В трехмерном пространстве мы считаем пересечение с трёхмерной сеткой кубиков.

Когда фигура меньше кубиков, мы воспринимаем её как линию, одномерную. Количество кубиков, которые она пересекает пропорционально её длине (первая степень).

При увеличении у нас получается труба (двумерная), которая пересекает своей поверхностью кубики сетки. И количество кубиков пропорционально второй степени.

Если мы еще увеличим масштаб, фигура выглядит одномерной. Количество кубиков будет пропорционально первой степени.

Процесс присвоения размерности фигуре может быть не очевидным и оставляет простор для разных соглашений и определений.

В теории увеличение масштаба может быть бесконечным, на практике достаточно просто большого разброса масштабов для построения графика. Главное, чтобы размерность оставалась приблизительно постоянной на разных масштабах.

Береговая линия Британии имеет размерность 1,21 на различных масштабах. Размерность береговой линии Норвегии имеет размерность 1,52, что есть численный способ сказать о том, что она более неровная.

Фрактальная размерность — один из факторов, что объект природного происхождения, а не создан человеком.

Оригинал видео

Русский дубляж

что это такое, индикаторы и стратегии

Фрактал – сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть из всей фигуры можно выделить части, подобные целой фигуре. Примеры самоподобных множеств известны с XIX века. Термин «фрактал» (от лат. fractus — раздробленный) впервые ввел в 1975 году математик исследовательского центра IBM Бенуа Мандельброт. (Статья Алексея Нургалиева «Фракталы» от 19.01.2014)

Открытая Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченность в хаосе природы и раскрывает принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простого математического соотношения. Бесконечные повторяющиеся модели и шаблоны с закономерностями в копировании форм и массивов в разных масштабах — такой подход вполне применим в поисках закономерности движения цены на рынке. Билл Вильямс, основываясь на законах фрактальной геометрии разработал уникальный индикатор Fractals. Фрактальный индикатор нашел широкое применение как вспомогательный подтверждающий инструмент технического анализа. Очень удобен тем, что становятся подробно различимы все акценты на рисунке ценового графика. Так индикатор размечает все значимые локальные пиковые значения цены, когда баланс продаж и покупок смещается из одной стороны в другую.

Определение понятия фрактал на Форекс

Фракталом называют геометрический паттерн, который повторяется по всем котировочным интервалам. Исходя из этой концепции, был разработан фрактальный индикатор. Индикатор сигнализирует по потенциальным поворотным моментам на ценовом графике. Индикатор стрелками размечает шаблоны вероятных движений цены. Фрактальная модель сигналов может указывать на развитие «бычьего рынка» — цена будет двигаться вверх. Либо наоборот, формы фрактальных сигналов показывают, что цена будет двигаться вниз.

Фрактальная фигура — это группа из 5 свечей, где будет центральная свеча с пиковым значением (относительно высшая/низшая по значению). Идеальным значением фрактала будет передано совпадением модели с разворотом цены на графике – эталонный фрактал окажется на пике разворота. Значение формы паттерна будет передавать последующее поведение рыночной цены в виде соответствующей более масштабной «родительской модели» на графике. Градация схожести масштабирования фигур фрактала и родительской модели наблюдается на старших графиках крайне редко. На младших графиках фактически невозможно обнаружить эталонную самоповторяющуюся модель.

Ключевые значения

• «Бычий» фрактал проявляется, когда возникает фигура с наименьшим локальным значением в одной свече и обрамлением двумя свечами на каждой стороне (с точками low выше значения low центральной свечи).
• «Медвежий» фрактал — когда проявляется фигура с наивысшим локальным значением и с двумя свечами по сторонам (пиковое значение графика цены).
• Стрелка вверх подтверждает положение «медвежьего» фрактала, а стрелка вниз — положение «бычьего» фрактала.

Такие значения рассматриваются как шаблонные, в соответствии с логикой предсказуемости поведения рыночной цены. Если цена достигает пиковых значений — ожидается откат. Однако, не все так просто в применении индикатора и основанных на фрактальной теории торговых систем.

Индикатор «Fractals» Билла Вильямса является самым распространенным классическим вариантом. Это базовый технический инструментарий в терминалах MetaTrader:

Так выглядит график с добавленным к нему индикатором:

Первым условием при формировании геометрического индикатора будет пиковая позиция центральной свечи (наивысшего или наинизшего локального значения на графике). Значение центральной свечи и будет самим значением фрактала. Фракталом с полной формой будет считаться 5-барная фигура. В середине формы может оказаться пара свечей с одинаковым пиковым уровнем, фрактальным центром будет считаться более поздняя свеча. Возможны формирования двух фрактальных фигур из одних и тех же свечей одновременно(к примеру: 2 крайние свечи одного фрактала станут свечами следующего).

Применение индикатора в торговых стратегиях

Фрактал считается сформированным после того, как за центральной свечой закроются две последующие. Только после этого фрактальная фигура считается полной и принимается трейдером в качестве сигнала. Чем больше волатильность рыночного инструмента тем больше сигналов по малым таймфреймам с чрезмерным количеством ложных и относительно ложных сигналов. Чем старше график тем меньше сигналов и тем они точнее. Неудобство в оперативном использовании индикатора fractals заключается в запаздывании паттерна на 2 бара. Поэтому паттерн графической фрактальной модели чаще используется как дополнительный сигнал подтверждения в техническом анализе рынка. Билл Вильямс предлагает использовать его с индикатором Аллигатор.

По стратегии Вильямса, открывать сделку трейдер может при прорыве ценой ближайшего фрактала линий Аллигатора. Далее, при торговле по этой тенденции фракталы используются для вычислений экстремумов и точек поддержки и сопротивления. Очередное преодоление ценой этих значений будет сигнализировать о возможности открытия сделки в сторону пробоя. Поэтому очень часто фрактальный индикатор используется в торговых системах позиционного трейдинга. Рассмотрим пример в ретроспективе по уровню h5:

Фракталы также используют с другими индикаторами, такими как точки разворота или уровни отката Фибоначчи. Распишем ситуацию по условиям повышающегося тренда: цена отступает и достигает уровня коррекции Фибоначчи 50%. Поскольку тренд направлен вверх, а цена близка к уровню отката Фибоначчи, трейдер заключает сделку, если сформируется бычий фрактал. Так или иначе любая торговая система требует отдельного подхода с разбором всех деталей.

Выводы

Индикатор Fractals рекомендуют к применению сугубо в сочетании с другим инструментом технического анализа. Эффективность повышается с агрегированием фрактальных данных, например: использование комбинации фрактальных формаций на разных уровнях по тайм-фрейму одновременно (по нескольким окнам торгового терминала или по трем мониторам). Простым языком фрактальный индикатор хорош в использовании как вспомогательное и/или наглядное средство, а рассматривая один рыночный инструмент по графикам с разным масштабом позволит четче разглядеть трендовые тенденции и вероятные развороты.

Рейтинг брокеров 2021

О фракталах

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством

самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
• Является самоподобной или приближённо самоподобной.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
• Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Одним из первых описал динамические фракталы в 1918 году французский математик Гастон Жюлиа в своем объемном труде в несколько сотен страниц. Но в нем отсутствовали какие-либо изображения. Компьютеры сделали видимым то, что не могло быть изображено во времена Жюлиа.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Квазифрактал отличается от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.

Мультифрактал — комплексный фрактал, который может детерминироваться не одним единственным алгоритмом построения, а несколькими последовательно сменяющими друг друга алгоритмами. Каждый из них генерирует паттерн со своей фрактальной размерностью. Для описания мультифрактала вычисляют мультифрактальный спектр включающий в себя ряд фрактальных размерностей присущих элементам данного мультифрактала.

Предфрактал — это самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется в упрощённом виде при уменьшении масштаба конечное число раз. Количество уровней масштаба, на которых наблюдается подобие, называется порядком предфрактала. При порядке, стремящемся к бесконечности, предфрактал переходит в фрактал.

Фрактал | математика | Britannica

Фрактал , в математике, любой из класса сложных геометрических фигур, которые обычно имеют «дробную размерность» — понятие, впервые введенное математиком Феликсом Хаусдорфом в 1918 году. Фракталы отличаются от простых фигур классических или евклидовых фигур. , геометрия — квадрат, круг, сфера и т. д. Они способны описывать многие объекты неправильной формы или пространственно неоднородные явления в природе, такие как береговые линии и горные хребты.Термин фрактал , образованный от латинского слова фрактус («фрагментированный» или «сломанный»), был придуман математиком польского происхождения Бенуа Б. Мандельбротом. Посмотрите анимацию фрактального набора Мандельброта.

Хотя ключевые концепции, связанные с фракталами, изучались математиками в течение многих лет, и многие примеры, такие как кривая Коха или «снежинка», были известны давно, Мандельброт был первым, кто указал, что фракталы могут быть идеальным инструментом в прикладной сфере. математика для моделирования различных явлений от физических объектов до поведения фондового рынка.С момента своего появления в 1975 году концепция фрактала породила новую систему геометрии, которая оказала значительное влияние на такие разнообразные области, как физическая химия, физиология и механика жидкости.

Подробнее по этой теме

сложность: фракталы

Обычным первым шагом в анализе динамической системы является определение того, какие начальные состояния демонстрируют аналогичное поведение.Потому что соседние штаты …

Многие фракталы обладают свойством самоподобия, если не точно, то хотя бы приблизительно. Самоподобный объект — это объект, составные части которого похожи на целое. Это повторение деталей или узоров происходит в постепенно уменьшающихся масштабах и может, в случае чисто абстрактных сущностей, продолжаться бесконечно, так что каждая часть каждой части при увеличении будет выглядеть в основном как фиксированная часть всего объекта. Фактически, самоподобный объект остается неизменным при изменении масштаба — т.е.е. имеет масштабную симметрию. Это фрактальное явление часто можно обнаружить в таких объектах, как снежинки и кора деревьев. Все естественные фракталы этого типа, а также некоторые математические самоподобные фракталы являются стохастическими или случайными; таким образом, они масштабируются в статистическом смысле.

Другой ключевой характеристикой фрактала является математический параметр, называемый его фрактальной размерностью. В отличие от евклидовой размерности, фрактальная размерность обычно выражается нецелым числом, то есть дробью, а не целым числом.Фрактальное измерение можно проиллюстрировать на конкретном примере: кривая снежинки, определенная Хельге фон Кохом в 1904 году. Это чисто математическая фигура с шестикратной симметрией, как у естественной снежинки. Он самоподобен тем, что состоит из трех идентичных частей, каждая из которых, в свою очередь, состоит из четырех частей, которые являются точными уменьшенными версиями целого. Отсюда следует, что каждая из четырех частей сама по себе состоит из четырех частей, которые являются уменьшенными версиями целого. Не было бы ничего удивительного, если бы коэффициент масштабирования также был равен четырем, поскольку это было бы верно для отрезка линии или дуги окружности.Однако для кривой «снежинка» коэффициент масштабирования на каждом этапе равен трем. Фрактальная размерность, D , обозначает степень, до которой 3 должно быть увеличено, чтобы получить 4, то есть 3 ^D = 4. Размер кривой снежинки, таким образом, составляет D = ^{log 4} / _{войти 3} , или примерно 1,26. Фрактальная размерность — ключевое свойство и показатель сложности данной фигуры.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.Подпишитесь сейчас

Фрактальная геометрия с ее концепциями самоподобия и нецелочисленной размерности все шире применяется в статистической механике, особенно при работе с физическими системами, состоящими из, казалось бы, случайных элементов. Например, фрактальное моделирование использовалось для построения графика распределения скоплений галактик по всей Вселенной и для изучения проблем, связанных с турбулентностью жидкости. Фрактальная геометрия также внесла свой вклад в компьютерную графику. Фрактальные алгоритмы позволили создавать реалистичные изображения сложных, очень необычных природных объектов, таких как пересеченная местность гор и замысловатые системы ветвей деревьев.

Блестящая вики по математике и науке

Во-первых, давайте начнем со свойства фракталов, которое мы наблюдали у цветной капусты Романеско.

Свойство: Самоподобие — это свойство, при котором увеличение объекта создает бесконечный повторяющийся узор.

Еще один пример самоподобия в природе — повторяющиеся узоры кристаллизующейся воды и снежинок.

«Морозные узоры 2» от Schnobby (Лицензия CC BY-SA 3.0 через Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frost patterns 2.jpg)

Как мы описываем эти самоподобные узоры и как математически генерируем автомодельные формы, воспроизводимые при любом увеличении? Мы видели фрактальные узоры в снежинках, поэтому давайте начнем с создания самоподобного узора, напоминающего снежинку.

Снежинка Коха

Начиная с равностороннего треугольника, создайте равносторонний треугольник, используя среднюю треть каждой стороны в качестве основы, а затем удалите основание треугольника.Теперь повторите этот процесс для каждого отрезка линии на получившейся фигуре. Вот несколько первых итераций:

Продолжение этого процесса дает снежинку Коха в пределе. Вот крупный план границы после нескольких итераций:

Поскольку увеличение масштаба снежинки Коха дает кривую, которая является копией самой себя в меньшем масштабе (так называемая кривая Коха), снежинка Коха демонстрирует самоподобие.n3⋅ (34) n, поэтому звезда Коха имеет бесконечный периметр, если измерять ее как одномерную кривую.

Однако, как мы увидим позже, это возникает из-за того, что снежинка Коха должна рассматриваться как имеющая более одного измерения, и попытка измерить форму в неправильном измерении дает бессмысленный ответ. Это похоже на попытку измерить количество очень тонкой нити, необходимое для покрытия двумерного квадрата. Нам понадобится бесконечно длинный поток, поскольку мы пытаемся измерить двумерный объект с помощью одномерной кривой.

Какую площадь образует снежинка Коха, начиная с равностороннего треугольника со стороной 1?

A. 1
B. 12 \ frac {1} {2} 21
C. 235 \ frac {2 \ sqrt {3}} {5} 523
D. 234 2 \ frac {\ sqrt {3 }} {4} 243
E. Площадь бесконечна

Снежинка Коха показывает, что даже несмотря на то, что фракталы сложны, их можно сгенерировать, многократно применяя простые правила.Мы можем представить начальный треугольник снежинки Коха как инициатор , а шаг замены каждой строки пиком как генератор . Если вместо этого мы начнем с отрезка линии в качестве инициатора и воспользуемся следующим генератором, мы получим другой шаблон.

Эти примеры демонстрируют следующие свойства фракталов. n ( 21) п.{n + 1}. 3n⋅ (21) 2n⋅43 = (43) n⋅43 = 3 1 (43) n + 1.

Это приближается к 0, когда nnn стремится к бесконечности. Как и в случае со снежинкой Коха, прокладка Серпинского следует рассматривать как имеющую размер меньше 2, и измерение ее в неправильном измерении дает бессмысленный ответ.

Паттернов в природе: как найти фракталы

Художественная выставка Science World «Зеркальный лабиринт: числа в природе», проходившая в 2019 году, позволила внимательно изучить закономерности, которые появляются в окружающем нас мире.

Знаете ли вы, что математику иногда называют «наукой о моделях»? Подумайте о последовательности чисел, как о числах, кратных 10 или числах Фибоначчи — эти последовательности являются шаблонами. В некотором смысле, когда вы наблюдаете закономерность в окружающем вас мире — вы занимаетесь математикой!

Узоры можно увидеть везде: в животных, овощах и минералах. Вы когда-нибудь замечали сходство между формой ваших легких и структурой дерева? Или, может быть, пути молний и путь, по которому река прорывается сквозь землю? Эти паттерны называются фракталами.

Фрактал — это своего рода узор, который мы часто наблюдаем в природе и в искусстве. Как объясняет Бен Вайс, «всякий раз, когда вы наблюдаете серию шаблонов, повторяющихся снова и снова, в разных масштабах и где любая маленькая часть напоминает целое, это фрактал».

Фракталы захватывают не только своим математическим или концептуальным представлением, но и тем, что вы можете визуализировать математику — и это прекрасно!

Повторение во фрактале называется «самоподобие».Еще один способ подумать об этом: когда вы увеличиваете небольшую часть фрактального узора, он выглядит так же, как и все. Один из самых известных фракталов — Набор Мандельброта.

Набор Мандельброта

Набор Мандельброта относится к фракталу, который человек по имени Бенуа Мандельброт создал из простого математического уравнения с помощью компьютеров. Вы можете распознать полученные изображения как вид визуального искусства, который был особенно популярен в 1980-х годах, когда впервые был обнаружен набор Мандельброта.227 [1080×1920]» src=»https://www.youtube.com/embed/PD2XgQOyCCk?feature=oembed» frameborder=»0″ allow=»accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»»/>

Визуализация множества Мандельброта показывает, что очень сложные, совершенно неожиданные структуры могут быть результатом очень простых математических правил. У этого понимания есть приложения, которые варьируются от создания реалистичной компьютерной графики до моделирования погоды и финансовых рынков.

Фигурки Лихтенберга

Легкое, удар молнии или ветвь — примеры фрактала, который изучался даже раньше, чем множество Мандельброта, фигура Лихтенбурга.Эти закономерности сначала изучали, пропуская электрический ток через различные материалы и наблюдая за полученными узорами. Когда напряжение проходит через материал, с течением времени токи утекают, вызывая распространение или разветвление на древовидные образования.

На самом деле, вы можете наблюдать подобные паттерны во многих природных явлениях, таких как корни, реки, электрические токи и органы в теле.

Снежинка Коха

Хотя фрактал по определению является бесконечным узором и не может быть измерен, снежинка Коха позволяет нам увидеть, что даже если периметр фрактала бесконечен, площадь — нет.Если вы увеличите масштаб изображения по краям снежинки, вы обнаружите, что узор все время появляется заново, но размер самой снежинки не меняется.

Этот вид фракталов обычно встречается в природе, когда мы наблюдаем за береговой линией. Вы не можете получить точное измерение массы суши на Земле, потому что края не гладкие, они грубые и изменчивые, снежинка Коха — это способ показать, как бесконечные неровности все еще могут содержаться в приближении всего целого. .

Какие фракталы вы наблюдали в природе? Вы когда-нибудь видели фракталы в искусстве?

Создайте свой собственный узор с использованием солнечного света!

Вы когда-нибудь замечали, что шторы или мебель потускнеют под воздействием солнечных лучей? Наблюдайте за светочувствительной реакцией через нашу деятельность, Световой Узор!

Математика: О фракталах | Мэривудский университет

Контактная информация по программе:

DP Adhikari, Ph.D.
[email protected]
Здание Центра естественных и медицинских наук (CNHS), комната 339

(570) 348-6211 доб. 2375

Административный помощник:

Марси Гоган
[email protected]
Здание Центра естественных и медицинских наук (CNHS), комната 350
(570) 348-6265

Что такое фракталы?

Фрактал — это «грубая или фрагментированная геометрическая форма, которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) копией целого в уменьшенном размере», свойство, называемое самоподобием .

Термин фрактал был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году и произошел от латинского фрактуса, означающего «сломанный» или «расколотый». Математический фрактал основан на уравнении, которое подвергается итерации, форме обратной связи, основанной на рекурсии.

Фрактал часто имеет следующие особенности:

• Он имеет тонкую структуру при сколь угодно малых масштабах.
• Это слишком необычно, чтобы его можно было легко описать традиционным евклидовым геометрическим языком.
• Самоподобен (по крайней мере, приблизительно или стохастически).
• Он имеет размерность Хаусдорфа, которая больше, чем его топологическая размерность (хотя этому требованию не отвечают кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Гильберта).
• У него простое и рекурсивное определение.

Поскольку они кажутся похожими на всех уровнях увеличения , фракталы часто считаются бесконечно сложными.К естественным объектам, которые до некоторой степени аппроксимированы фракталом, относятся:

• облака
• горные хребты
• молнии
• береговые линии
• хлопья снега
• разные овощи (цветная капуста и брокколи)
• раскраски животных

Создание фракталов

Изображения фракталов можно создавать с помощью программного обеспечения для создания фракталов. Изображения, созданные с помощью такого программного обеспечения, обычно называют фракталами, даже если они не обладают вышеуказанными характеристиками, например, когда можно увеличить область фрактала, которая не проявляет каких-либо фрактальных свойств.Кроме того, они могут включать в себя артефакты вычислений или отображения, которые не являются характеристиками истинных фракталов.

Общие методы создания фракталов

• Время побега
• Системы итерированных функций
• Случайно
• Аттракторы Штанге

В природе найдено 14 удивительных фракталов

Когда вы думаете о фракталах, вы можете подумать о плакатах и ​​футболках Grateful Dead, пульсирующих цветами радуги и завихряющихся сходством.Фракталы, впервые названные математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году, представляют собой особые математические наборы чисел, которые демонстрируют сходство во всем диапазоне масштабов, то есть выглядят одинаково, независимо от того, насколько они велики или малы. Еще одна характеристика фракталов заключается в том, что они демонстрируют большую сложность, обусловленную простотой — некоторые из самых сложных и красивых фракталов могут быть созданы с помощью уравнения, заполненного всего несколькими членами. (Подробнее об этом позже.)

Найдено в природе

(Фото: Wikimedia Commons)

Одна из вещей, которая привлекла меня во фракталах, — это их повсеместность в природе.Похоже, что законы, управляющие созданием фракталов, можно найти повсюду в мире природы. Ананасы растут согласно фрактальным законам, а кристаллы льда образуют фрактальные формы, такие же, как в дельтах рек и в венах вашего тела. Часто говорят, что мать-природа чертовски хороший дизайнер, а фракталы можно рассматривать как принципы дизайна, которым она следует, собирая вещи вместе. Фракталы сверхэффективны и позволяют растениям максимально воздействовать на солнечный свет, а сердечно-сосудистая система обеспечивает наиболее эффективную транспортировку кислорода ко всем частям тела.Фракталы красивы везде, где бы они ни появлялись, поэтому есть множество примеров, которыми можно поделиться.

Вот 14 удивительных фракталов, найденных в природе

(Фото: Rum Bucolic Ape / flickr)

Постарайтесь не попасться на эту фотографию брокколи Романеско крупным планом. Каждый из более мелких почек состоит из еще более мелких почек. Вот еще один.

(Фото: Мануэль Ноа Анджеха / flickr)

Вы можете увидеть ту же фрактальность в спиралях семян шишки.

(Фото: Эйдан М. Грей / flickr)

И в том, как листья этого растения растут друг вокруг друга.

(Фото: Genista / flickr)

Этот блок из оргстекла был подвергнут воздействию сильного электрического тока, который прожег внутри фрактальный узор ветвления. Это лучше всего можно назвать бутылкой-молнией.

(Фото: Берт Хикман / Wikimedia Commons)

Тот же самый образец проявляется повсюду. Здесь образуются кристаллы льда.

(Фото: Schnobby / Wikimedia Commons)

И 20-кратное увеличение образования дендритных кристаллов меди.

(Фото: Пол / Wikimedia Commons)

Рисунок ниже был создан путем пропускания электричества между двумя гвоздями, вбитыми в кусок мокрой сосны.

(Фото: Питер Террен / Wikimedia Commons)

Это на деревьях.

(Фото: Эйб Бингхэм / flickr)

(Фото: Burroblando / flickr)

И реки.

(Фото: Fabio Mascarenhas / flickr)

И уходит.

(Фото: i5a / flickr)

Мы видим фракталы в каплях воды.

(Фото: NatJLN / flickr)

И пузырьки воздуха.

(Фото: Woodley Wonderworks / flickr)

Они везде!

Отличным примером того, как можно построить фракталы с помощью всего нескольких членов, является мой любимый фрактал, Набор Мандельброта.Названный в честь своего первооткрывателя, ранее упомянутого математика Бенуа Мандельброта, Набор Мандельброта описывает фантастическую форму, которая демонстрирует удивительное самоподобие независимо от того, в каком масштабе она рассматривается, и может быть отображена с помощью этого простого уравнения:

z _{n + 1} = z _n ² + c

Я не буду здесь вдаваться в технические детали уравнения (вы можете прочитать эту инфографику, которую я сделал о том, как визуализировать набор Мандельброта, если вы хотите углубиться в детали), но в основном это означает, что вы берете комплексное число, возводите его в квадрат. , а затем снова и снова добавляйте себя к продукту.Сделайте это достаточно много раз, переведите эти числа в цвета и места на плоскости, и, детка, у вас есть красивый фрактал!

Вот что я имею в виду, когда фракталы выглядят одинаково по всей шкале. Это показывает увеличение меньшего участка на большом наборе Мандельброта. Заметили что-нибудь похожее между тем, где вы начинаете и где заканчиваете?

(Фото: Ши Гюнтер)

(Иллюстрация: Ши Гюнтер)

В качестве яркого примера того, как это работает, посмотрите это видео, в котором показано сверхглубокое увеличение набора Мандельброта.

Помимо множества Мандельброта, существует множество других типов фракталов. Вот несколько наиболее известных фракталов.

Снежинка Коха.
(Фото: Wikimedia Commons)

Треугольник Серпинского.
(Фото: Wikimedia Commons)

Кривая дракона.
(Фото: Wikimedia Commons)

Дерево Пифагора.
(Фото: Wikimedia Commons)

Фрактальное дерево.
(Фото: Мануэль Ноа Анджеха / flickr)

А вы? Есть ли у вас любимые природные фракталы? Делитесь ссылками в комментариях.

Почему это важно: фракталы | Математика для гуманитарных наук

Зачем изучать фракталы?

Фракталы повсюду! Если вы мне не верите, просто посмотрите в окно.От форм деревьев и кустов до зубчатых профилей гор и неровных береговых линий, многие особенности нашего природного мира, кажется, смоделированы фрактальной геометрией.

Но что такое фрактал? Как вы узнаете из этого модуля, фрактал — это объект, который демонстрирует самоподобие на каждом уровне. То есть, когда вы увеличиваете масштаб в одном разделе, он напоминает все изображение. Это самоподобие не обязательно должно быть точным; на самом деле многие фракталы демонстрируют некоторую вариативность или случайность.Ниже приведено видео, показывающее, как множество Мандельброта, хорошо известный фрактал, проявляет самоподобие.

Хотя некоторые фракталы (например, множество Мандельброта) могут сойти за произведения искусства, истинная красота фракталов заключается в том, как такие замысловатые конструкции и узоры могут быть результатом очень элементарного генерирования формул или правил. 2 + c [/ латекс]

Конечно, есть много деталей, которые еще нужно объяснить, например, взаимосвязь между фракталами и комплексными числами.Значения [latex] c [/ latex], [latex] z_n [/ latex] и [latex] z_ {n + 1} [/ latex] в приведенной выше формуле должны быть комплексными числами , то есть числа, которые включают мнимую единицу , [латекс] i = \ sqrt {-1} [/ latex].

Воображаемое число [латекс] i [/ latex] совершенно отличается от любого числа, которое вы когда-либо видели. Фактически, [latex] i [/ latex] вообще не отображается в числовой строке! Вместо этого, как вы вскоре обнаружите, мнимая единица живет на своей отдельной числовой линии, называемой мнимой осью , которая перпендикулярна обычной числовой прямой (или действительной оси ).

Само множество Мандельброта состоит из комплексных чисел, которые удовлетворяют определенному правилу, относящемуся к простому уравнению. В результате получается потрясающая картинка, которая становится все более и более захватывающей по мере увеличения!

Множество Мандельброта на комплексной плоскости.

The Mandelbulb: первое «настоящее» трехмерное изображение знаменитого фрактала

Джейкоб Арон

Достигая новых размеров См .: Дополнительные изображения

(Изображение: Daniel White)

См. & Двоеточие; наша галерея о том, как набор Мандельброта вырвался из двух измерений

Может показаться, что это произведение виртуозного вязания, но создатели изображения, которое они называют луковицей Манделя (см. Справа), утверждают, что это наиболее точное трехмерное представление на сегодняшний день самого известного фрактального уравнения & двоеточие; множество Мандельброта.

Фрактальные фигуры генерируются с помощью «итеративной» процедуры & двоеточие; вы применяете уравнение к числу, применяете то же уравнение к результату и повторяете этот процесс снова и снова. Когда результаты переводятся в геометрическую форму, они могут создавать поразительные «самоподобные» изображения, формы, которые содержат одни и те же формы в разных масштабах; например, некоторые выглядят сверхъестественно похожими на снежинки. Сложная часть — найти уравнение, которое дает интересное изображение.

Самым известным фрактальным уравнением является двумерное множество Мандельброта, названное в честь математика Бенуа Мандельброта из Йельского университета, который в 1975 году придумал название «фракталы» для получаемых фигур.

Но есть много других типов фракталов, как в двух, так и в трех измерениях. «Губка Менгера» — один из простейших трехмерных примеров.

Поддельный фрактал

Были и предыдущие попытки получить трехмерное изображение Мандельброта, но они не отображают реального фрактального поведения, говорит Дэниел Уайт, любитель фрактальных изображений из Бедфорда, Великобритания.

Вращение двумерного фрактала Мандельброта, как дерево на токарном станке, подъем и опускание определенных точек или использование математики более высоких измерений — все это может создать явно трехмерных Мандельбротов.Однако ни один из этих методов не предлагает детали и самоподобные формы, которые, как считает Уайт, представляют собой истинное трехмерное фрактальное изображение.

Два года назад он решил найти «настоящую» трехмерную версию Мандельброта.

Следующее измерение

«Я пытался увидеть, как работал исходный 2D Мандельброт, и перевести это в третье измерение», — объясняет он. «Вы можете использовать сложную математику, но вы также можете смотреть на вещи геометрически».

Этот подход работает благодаря свойствам «комплексной плоскости», математического ландшафта, в котором обычные числа идут от «востока» к «западу», а «мнимые» числа, основанные на квадратном корне из -1, идут от «юга». »На« север ».Умножение чисел на комплексной плоскости — это то же самое, что и ее вращение, а сложение — это как смещение плоскости в определенном направлении.

Чтобы создать набор Мандельброта, вы просто повторяете эти геометрические действия для каждой точки на плоскости. Некоторые из них раздуваются до бесконечности, полностью покидая набор, в то время как другие сжимаются до нуля. Различные цвета на типичном изображении отражают количество итераций, прежде чем каждая точка достигнет нуля.

Уайт задался вопросом, сможет ли выполнение тех же вращений и сдвигов в трехмерном пространстве уловить суть множества Мандельброта без использования комплексных чисел — действительных чисел плюс мнимые числа — которые неприменимы в трех измерениях, потому что они находятся только на двух осях.В ноябре 2007 года Уайт опубликовал формулу довольно близкой формы.

Высшая мощность

Формула, опубликованная Уайтом, дала хорошие результаты, но все еще не содержала истинных фрактальных деталей. Сотрудничая с участниками Fractal Forums, сайта для поклонников фракталов, он продолжил свои поиски. Другой участник, Пол Нюландер, в конце концов понял, что возведение формулы Уайта в более высокую степень — эквивалент увеличения числа оборотов — даст то, что они искали.

Однако поиски Уайта еще не закончены. Он признает, что лампа Мандельброта не совсем «настоящая» трехмерная модель Мандельброта. «Есть еще разделы, посвященные взбитым сливкам, где нет подробностей», — поясняет он. «Если настоящая вещь действительно существует — а я не говорю на 100 процентов, что она существует, — можно было бы ожидать еще большего разнообразия, чем мы наблюдаем сейчас».

Частично проблема в том, что расширение множества Мандельброта до 3D требует множества субъективных выборов, которые влияют на результат. Например, вы можете расширить плоскую плоскость до 3D, растянув ее, чтобы сформировать коробку, но вы также можете превратить ее в сферу.

«Это интересное академическое упражнение — подумать, что вы должны получить, — говорит Мартин Тернер, компьютерный ученый, специализирующийся на фрактальных изображениях из Манчестерского университета, Великобритания, — но все зависит от того, какие свойства вы хотите сохранить в третьем измерении. . »

Уравнения, которые использовал Уайт, могут выполнить свою работу, но используемая система алгебры не применима ко всей трехмерной математике.