Что такое фрактал?

На языке математики фрактал — это множество со свойством самоподобия. Иначе говоря, каждый член множества является точной или приближённой копией части себя самого. Один из простых примеров, на котором можно понять, что такое фрактал —
снежинка Коха. 

Давайте для начала её построим:

1. Начертим равносторонний треугольник.
2. На каждой стороне треугольника построим ещё равносторонние треугольники.
3. На каждой стороне меньших треугольников нужно построить ещё треугольники и так далее.

Снежинки Коха занимает ограниченную площадь, например, её можно ограничить окружностью определённой длины. Но при это снежинка имеет бесконечный периметр (!). Пусть изначально сторона треугольника равна единице, тогда на каждом шаге её длина увеличивается в 4/3 раза.

Легко вывести соотношение длины стороны:

При стремлении n к бесконечности длина стороны тоже будет стремиться к бесконечности.

Снежинка Коха —
геометрический фрактал. К ним также относятся множество Кантора, треугольник Серпинского, кривая Пеано и многие другие. Именно с них в XIX веке началась теория фракталов, так как в геометрических фракталах свойства самоподобия наиболее наглядны.

Фрактал описывается простыми правилами, которые необходимо выполнять многократно. На роль исполнителя этих действий прекрасно подходит компьютер, с появлением которого и связывают второе рождение фракталов.

Фракталы — абстрактное математическое понятие, но самое удивительное, что в природе часто встречаются объекты, обладающие его главным свойством — самоподобием. С этим связано два основных направления практического применения теории фракталов. Во-первых, это попытка копировать природный фрактальный объект, используя упрощённую математическую модель. В этом направлении больших результатов достигла компьютерная анимация. Во-вторых, анализировать природный объект и выявлять в нём фрактальные структуры.

Индуистские храмы имеют похожие друг на друга фрактальные структуры, где отдельные части напоминают целое. Центральная башня олицетворяет божество Шиву, группа подобных меньших башен — бесконечное повторение вселенных в индуистской космологии.

история фракталов и области их применения / Offсянка

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.

Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.

⇡#Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF.

⇡#Лорен Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.

Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму

Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.

Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.

Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.

В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.

⇡#Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше

За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.

Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.

Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.

Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей

Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems, справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

⇡#Фрактальные измерения: умом не понять

В своей книге Мандельброт рассказывает об одном очень интересном математическом парадоксе. Пятая глава книги «Фрактальная геометрия природы» посвящена, на первый взгляд, довольно простому вопросу: «Какова длина береговой линии Британии?» (аналогичная статья была опубликована им в журнале Science от 1967 года).

Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.

Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.

Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина

Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.

На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.

Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.

В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.

⇡#Фрактал в браузере

Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman. В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.

В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.

⇡#XaoS: фракталы на любой вкус

Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS. Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.

XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.

⇡#Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор

По сравнению с другими генераторами изображений фракталов Fractal Zoomer имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.

Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.

Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.

⇡#Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов

Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.

А еще этот фрактал можно съесть

Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D. Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».

Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.

Фрактальный редактор позволяет создавать анимацию. Вы не только конфигурируете трехмерное множество Мандельброта, но и можете его вращать, масштабировать и менять параметры с течением времени.

⇡#Генератор трехмерных фракталов Incendia

Incendia — это мультипроцессорный генератор трехмерных фракталов, разработанный испанским программистом Ramiro Perez, который изучает фракталы с 1989 года.

Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.

Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.

Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики — OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.

В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу.

Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. Воспользуйтесь библиотекой параметров, которая находится в папке INCENDIA_EX\parameters. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.

⇡#Aural: как поют фракталы

Мы обычно не рассказываем о проектах, работа над которыми только ведется, однако в данном случае мы должны сделать исключение, уж очень это необычное приложение. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.

Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, можно здесь и тут.

Фракталы: музыкальная пауза

Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.

У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.

⇡#Заключение

Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.

Если Вы заметили ошибку — выделите ее мышью и нажмите CTRL+ENTER.

Фрактал – это что

Что такое
фрактал?

Фракталы – геометрические
объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2,
объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между
2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика
приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула
для вычисления размерности фракталов. Разветвления трубочек трахей, листья на
деревьях, вены в руке, река — это фракталы. Говоря простым языком, фрактал -
это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и
снова, изменяясь в размерах — это и есть принцип самоподобия. Фракталы подобны
самим себе, они похожи сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе).
Существует много различных типов фракталов. В принципе, можно утверждать, что
всё, что существует в реальном мире, является фракталом, будь то облако или
молекула кислорода.

Слово «хаос» наводит на
мысли о чем-то непредсказуемом, но на самом деле хаос достаточно упорядочен и
подчиняется определенным законам. Цель изучения хаоса и фракталов — предсказать
закономерности, которые, на первый взгляд, могут казаться непредсказуемыми и
абсолютно хаотическими.

Пионером в этой области познания
был франко-американский математик, профессор Бенуа Б. Мандельброт. В середине
1960-х им разработана фрактальная геометрия, целью которой был анализ ломаных,
морщинистых и нечетких форм. Множество Мандельброта (показано на рисунке) -
первая ассоциация, возникающая у человека, когда он слышит слово «фрактал». К
слову, Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии
Англии составляет 1,25.

                Фракталы находят всё большее
применение в науке. Они описывают реальный мир даже лучше, чем традиционная
физика или математика. Броуновское движение — это, например, случайное и
хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения,
возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее
практическое использование. Случайное броуновское движение имеет частотную характеристику,
которая может быть использована для предсказания явлений, включающих большие
количества данных и статистики. К примеру, Мандельброт предсказал при помощи
броуновского движения изменение цен на шерсть.

Наиболее полезным
использованием фракталов в компьютерной технике является фрактальное сжатие
данных. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными
методами — до 600:1. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при
увеличении не наблюдается эффекта пикселизации, резко ухудшающего картинку.
Мало того, фрактально сжатая картинка после увеличения часто выглядит даже
лучше, чем до него. Cпециалистам в области компьютерной техники известно также,
что фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми
формулами.  Индустрия кино для создания
реалистичных элементов ландшафта (облака, скалы и тени) широко использует
технологию фрактальной графики.

Изучение турбулентности в
потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Это позволяет лучше понять
динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки
пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с
тем, что они имеют очень сложную геометрию. Для передачи данных на расстояния
используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их
размеры и вес. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей.
Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.     

На рисунке слева в качестве
простого примера приведен фрактал «пятиугольник Дарера», который выглядит, как
связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании
пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение
большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой
пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72°)) в качестве генератора. Эти треугольники
вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается
фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.         

Теория хаоса говорит, что
сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же
время утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается
верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы — в
графиках странных аттракторов, имеющих вид фракталов. Таким образом, теория
хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается наукой о
предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах. Учение о динамических
системах показывает: простые уравнения могут порождать такое хаотическое
поведение, при котором система никогда не возвращается в стабильное состояние и
при этом не проявляется никакой закономерности. Часто такие системы ведут себя
вполне нормально до некоторого определенного значения ключевого параметра,
потом испытывают переход, в котором существует две возможности дальнейшего
развития, потом четыре, и, наконец, хаотический набор возможностей.

Схемы процессов, протекающих
в технических объектах, имеют четко выраженное фрактальное строение. Структура
минимальной технической системы (ТС) подразумевает протекание в пределах ТС
двух типов процессов – главного и обеспечивающих, причем это деление условно и
относительно. Любой процесс может быть главным по отношению к обеспечивающим, а
любой из обеспечивающих процессов может считаться главным по отношению к
«своим» обеспечивающим процессам. Кружками на схеме обозначены физэффекты,
обеспечивающие протекание тех процессов, для обеспечения которых не требуется
специально создавать «свои» ТС. Эти процессы являются результатом
взаимодействия между веществами, полями, веществами и полями. Если быть точным,
то физэффект – это ТС, на принцип работы которой мы не можем повлиять, а в ее устройство
не желаем или не имеем возможности вмешиваться.

Протекание главного
процесса, изображенного на схеме, обеспечивается существованием трех
обеспечивающих процессов, являющихся главными для порождающих их ТС.
Справедливости ради отметим, что для функционирования даже минимальной ТС трех
процессов явно недостаточно, т.е. схема очень и очень утрирована.

Всё далеко не так просто,
как показано на схеме. Полезный (нужный человеку) процесс не может выполняться
со стопроцентной эффективностью. Рассеиваемая энергия затрачивается на создание
вредных процессов – нагрев, вибрации и т.п. В результате параллельно полезному
процессу возникают вредные. Не всегда есть возможность заменить «плохой»
процесс «хорошим», поэтому приходится организовывать новые процессы,
направленные на компенсацию вредных для системы последствий. Характерный пример
– необходимость борьбы с трением, вынуждающая организовывать хитроумные схемы
смазки, применять дорогостоящие антифрикционные материалы или затрачивать время
на смазку узлов и деталей или ее периодическую замену.

В связи с существованием
неизбежного влияния переменчивой Среды полезный процесс может нуждаться в
управлении. Управление может осуществляться как при помощи автоматических
устройств, так и непосредственно человеком. Схема процессов фактически является
набором специальных команд, т.е. алгоритмом. Сущность (описание) каждой команды
составляет совокупность отдельно взятого полезного процесса, сопутствующих ему вредных
процессов и набора необходимых управляющих процессов. В таком алгоритме набор
обеспечивающих процессов является обычной подпрограммой – и здесь мы тоже
обнаруживаем фрактал. Созданный четверть века назад метод Р.Коллера позволяет
при создании систем обойтись достаточно ограниченным набором всего из 12 пар
функций (процессов).

На главную страницу

Персональный фрактал | факультет психологии

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия», появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского «fractus», в переводе обозначающее «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом (сотрудником компании IBM) в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 г. книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В ней он впервые заговорил о фрактальной природе нашего многомерного мира. В его работе использованы  научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре,Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить все их результаты в единую систему. Существует большое число математических объектов, называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинки Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта,  Лоренцовы аттракторы и др.). Фракталы с большой  точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветки и листья деревьев, кровеностные сосуды и т.д.

Методологический принцип теории фракталов (самоподобных и самоаффиных) – самоорганизация устойчивых целелостностей в природе и обществе, теория сложных систем, теория хаоса, результаты исследований  турбулентных, бифуркационных систем. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Мандельброт дал следующее определение фрактала: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Понятие «подобие», являющееся основным свойством фрактала — основополагающее свойство реальной Вселенной, подобием пронизан весь мир, в котором мы живем. 

Фрактал – это не только чрезвычайно красивая самоподобная картинка, но это еще и удивительное явление природы, современнейший вид компьютерного искусства, передовой край трехмерной графики. Роль фракталов в машинной графике  сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. Фактически, найден способ легкого представления  сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Построение самоподобных  фракталов (и некоторых других), позволяет создавать стереокартинки,  различные модели миров, писать фрактальную музыку, анимировать фракталы (их движение и полет вглубь),  изменять их (фрактальный морфинг). Фрактал может использоваться в психотерапии: по отзывам «фракталоманов», пять минут созерцания этого волшебства — и реальный мир становится комфортным.

В исследовании планируется следующее исследование фракталов:

Что означает термин «фрактал»? Перевод и история слова

Термин

Пример фрактала

«Фрактал» был введен в обиход математиками менее полувека назад, вскоре стал, наряду с синергетикой и аттрактором, одним из «трех китов» молодой Теории Детерминированного Хаоса, и сегодня уже признан, как один из основополагающих элементов устройства мироздания.

С латыни слово fractus переводится как «сломанный», современные латинские языки придали ему значение «рваный». Фрактал — это нечто, что идентично целому/большему, частью чего является, и, одновременно, копирует каждую собственную составную часть. Таким образом, «фрактальность» — это бесконечное подобие «всего» на свои составляющие, то есть, это самоподобие на любом уровне. Каждый уровень фрактальной ветки называется «итерация», чем больше развита описанная или графически изображенная система, тем больше фрактальных итераций видит наблюдатель. При этом точка, в которой происходит разделение (например, ствола на ветки, реки на два потока и т.д.), называют точкой бифуркации.

Термин fractus был выбран математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для описания научного открытия и стал популярным несколькими годами позже – после того как он развил тему для широкой аудитории в своей книге «Фрактальная геометрия природы».

Сегодня фрактал широко знаменит как фантастические узоры так называемого «фрактального искусства», созданные компьютерными программами. Но с помощью компьютера можно генерировать не только красивые абстрактные картинки, но и весьма правдоподобные природные пейзажи – горы, реки, леса. Тут, собственно, находится точка перехода науки в реальную жизнь, или наоборот, если предположить, что их вообще возможно разделять.

Дело в том, что принцип фрактальности подходит не только для описания открытий в точных науках. Это, в первую очередь, принцип устройства и развития самой природы. Все вокруг нас – фракталы! Самая очевидная группа примеров — реки с притоками, венозная система с капиллярами, молния, морозные узоры, деревья… Совсем недавно ученые, проверяя теорию фрактальности, экспериментально убедились даже в том, что по схеме одного дерева можно делать выводы о лесном массиве, где эти деревья растут. Другие примеры фрактальных групп: атом – молекула — планетарная система — солнечная система – галактики — вселенная… Минута – час – день – неделя – месяц – год — век… Даже сообщество людей самоустраивается по принципам фрактальности: я – семья – род – народность – национальности — рассы… Индивидум – группа – партия — государство. Работник – отдел – департамент – предприятие — концерн… Даже божественные пантеоны разных религий построены по тому же принципу, включая христианство: Бог-Отец – Троица – святые – церковь – верующие, не говоря об организации божественных пантеонов языческих религий.

История заявляет, что впервые самоподобные множества были замечены в 19 веке в трудах ученых — Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантора, Хаусдорфа, но истина в том, что уже языческие славяне оставили нам доказательство того, что люди понимали индивидуальное бытие, как малую деталь в бесконечности мироздания. Это – изученный искусствоведами Беларуси и Украины объект народной культуры, называемый «паук». Он является своеобразным прототипом скульптуры современного стиля «mobile» (части находятся в постоянном движении относительно друг друга). «Паук» чаще соломенный, состоит из одинаковых по форме маленьких, средних, больших элементов, подвешенных друг к другу так, что каждая меньшая часть точно повторяет в структуре большую и всю конструкцию в целом. Эту конструкцию вешали в главном углу жилья, как бы обозначая свой дом, как элемент всего мира.

Теория фрактальности сегодня работает везде, в том числе в философии, которая говорит, что в течение каждой жизни, а любая и вся жизнь в целом фрактальна, случаются «точки бифуркации», когда на более высокие уровни развитие может пойти разными путями и момент, когда человек «оказывается перед выбором», является самой настоящей «точкой буфуркации» во фракталах его жизни.

Теория Детерминированного Хаоса говорит, что развитие каждого фрактала не бесконечно. Ученые полагают, что в определенный момент наступает предел, за которым рост итераций прекращается и фрактал начинает «сужаться», доходя постепенно до своей изначальной единичной меры, а затем процесс снова идет по кругу — аналогично вдохам и выдохам, сменам утра и ночи, зимы и лета в природе.

Примеры фракталов

1. Пример фрактала из пятиугольников.

Фрактал из пятиугольника

2. Пример фрактала из пирамид.

Фрактал из пирамид

Что означает?

1. Слово — Сонар?

В мире фракталов: Фракталы в математике

Геометрические фракталы

Основными представителями этой группы фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано, снежинка Коха, треугольник
Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя..[2]. Все они получены
путем повторений определенной последовательности геометрических построений с
использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры
«превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную
треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными
отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой
алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из
которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.

Фракталы этой группы самые
наглядные. Если проанализировать данные изображения, можно выделить следующие
свойства геометрических фракталов:

Снежинка Коха

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является фрактал «Снежинка Коха». Строится она на основе равностороннего треугольника.
Пусть сторона исходного треугольника равна 1. Его площадь также равна 1.

Каждая сторона  делится на три части каждая длиной в 1/3 исходной  стороны. Затем пририсовывются три меньших равносторонних треугольника по одному на каждой стороне (на стредней трети). На каждой из полученных 12 сторон пририсовываются по одному ещё меньшему треугольнику (снова на средней трети стороны). 

Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть.

Этот процесс можно продолжать бесконечно долго. 

Каждый раз число сторон учетверяется. Число сторон можно выразить  такой последовательностью:

3, 3*4, 3*4*4,  3* 4*4*4, 3* 4*4*4*4….

Убеждаемся, что число сторон снежинки бесконечно велико.

Снежинка образуется добавлением треугольника к каждой стороне, так что выписанная последовательность  даёт иакже  и число треугольников, добавляемое на каждом этапе (каждой итерации). Начиная со второго этапа, количество добавляемых треугольников каждый раз учетверяется.

Площадь первоначального треугольника была равна 1. Площадь каждого нового треугольника равна 1/9 от плошади предыдущего. Площадь первоначального треугольника была равна 1.. После добавления трёх треугольников площадь увеличивается на 3/9=1/3. Затем каждый раз будет добавляться вчетверо больше треугольников, чем на предыдущем этапе. Следовательно, площадь, добавляемая на каждом этапе, будет составлять 4/9 от площади, добвледущнной на предыдущем этапе. 

Общую площадь снежинки можно выразить геометрическим рядом

1+ 1/3 + (1/3) * (4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9)*(4/9) + …
Сумма этого ряда конечна и равна 1,6.

При этом периметр снежинки, напротив, бесконечен. 

Треугольник Серпинского (http://elementy.ru/posters/fractals/Sierpinski)

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.

Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.

Алгебраические фракталы


Вторая большая группа фракталов — алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z — комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится, на экран выводится точка. 

При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

• С течением времени стремится к бесконечности. 
• Стремится к нулю. 
• Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы. 
• Поведение хаотично, без каких либо тенденций. 

Фракталы Пьера Фату

К  алгебраическим фракталам относят фракталы Фату.
Фату изучал рекурсивные процессы вида

Начав с точки  на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. 
Такая последовательность точек называется орбитой  при преобразовании 

Фату нашел, что орбита  при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. 

Первым, кто применил компьютер лдля расчёта фракталов на комплексной плоскости, стал Бенуа Мандельброт. Благодаря этому он впервые открыл нам красоту фракталов.

Множество Мандельброта

Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта — один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя. Википедия
Множество Мандельброта — классический образец фрактала.

Множество Мандельброта — это множество таких точек С на комплексной плоскости:

Z0 = 0

Функционально множество Мандельброта определяется как        Zn+1=Zn*Zn+C.

Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняем некоторое достаточно большое количество раз это выражение и каждый раз проверяя абсолютное значение Zn. Если это значение больше 2, что рисуем точку с цветом равным номеру итерации на котором абсолютное значение превысило 2, иначе рисуем точку черного цвета. Все множество Мандя коллекция ельброта в полной красе у нас перед глазами. 

Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю — это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. А самое интересное это границы множества. Они-то и являются фрактальными. На границах этого множества ведет себя непредсказуемо — хаотично.

На странице «Программирование фракталов»  нашего блога представлена программа  расчёта множества Мандельброта на языке Small Basic.

Алгебраические фракталы воодушквили компьютерных художников на создание фрактальных композиций удивительной красоты. В этих комозициях можно найти сходство с природными фракиалами и проявление творческой фантазии художников.  

На сайте http://www.fractalartcontests.com/2011/ собрана богатейшая коллекция очень красивых фрактальных композиций. Вот некоторые из них:

A Sunny Day for Vincent (Солнечный день Винсента) 

Daisies and Blue Sky (Маргаритка и синее небо)

Autumn (Осень)

Cockatoo  (Какаду)

Фракталы

Драконова ломаная

Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.

При этом каждый первый угол оказывается «вывернутым» наружу, а каждый второй — вовнутрь. Несмотря на внешнюю простоту, построение драконовой ломаной — увлекательная алгоритмическая задачка, решение которой может потребовать от вас определенных мыслительных усилий. Попробуйте «научить» ваш компьютер строить драконовы ломаные n — того порядка (естественно, в разумных пределах значений n). Это умственное упражнение будет способствовать оттачиванию вашего «боевого» искусства алгоритмизации и программирования. На рисунке проиллюстрирован алгоритм построения драконовой ломаной и изображен вполне взрослый «дракон» десятого порядка.

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов — алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z — комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится — на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

С течением времени стремится к бесконечности.
Стремится к 0
Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
Поведение хаотично, без каких либо тенденций.
Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике — множеству Мандельброта.

Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число — это число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i — называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.

На рисунке, изображающем множество Мандельброта я взял небольшой участок и увеличил его до размеров всего экрана (как в микроскоп). Что же мы видим? Проявление самоподобности. Не точной самоподобности, но близкой и с ней мы будем сталкиваться постоянно, увеличивая части нашего фрактала больше и больше. До каких же пор мы можем увеличивать наше множество? Так вот если мы увеличим его до предела вычислительной мощности компьютеров, то покроем площадь равную площади солнечной системы вплоть до Сатурна.

Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма». Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря — получим вместо плазмы — горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы.

Программирование фракталов

Псевдокод, описывающий общий принцип фрактала

Объект рисуется в достаточно большом масштабеЧасти этого объекта заменяются меньшими копиями этого объекта

Ясно, что это описание рекурсивного процесса. Рассмотрим первый пример создания фрактала. Псевдокод выглядит так

Процедура Рисования Квадрата    У каждого угла квадрата рисуется квадрат меньшего размера    Рисуется квадрат, если не существуют квадраты меньшего размераКонец Процедуры

Так будет выглядеть код на VB

Private Sub Form_Click()Scale (-2000, 2000)-(2000, -2000)Square -1000, 1000, 2000End SubSub Square(x, y, Size)' для выхода из процедуры If Size 
При выполнении каждой рекурсии появляется четыре новых угла. Каждый из них составляет одну четвертую от предыдущего. Результат представлен на рисунке

L-системы
Любителям фракталов и математических       картинок известны фантастические изображения растений, полученные с       помощью программ. Это так называемые L-системы. В основе их построения       лежат два принципа. Первый – это так называемая «черепашья графика»       (оператор draw) патриарха GWBASIC и его детей Turbo Basic и QBasic, когда       движение рисуется пошагово в приращениях относительно текущей точки. Либо моделируется данное поведение,  задавая движение в приращениях координат. Второй принцип – изюминка       метода: каждое единичное движение заменяется на весь рисунок. Например,       нарисуем вилку-рогатульку. На следующем шаге работы программы каждая из       трех палочек вилки заменяется такой-же вилкой, превращая вилку в ветку с       сучками, после следующего шага получим лохматый куст, потом пушистое       дерево, красивое, фрактальное. Меняя вид начальной картинки можно получать       самые разные изображения от зонтиков укропа до колючего перекати-поле или       пучка водорослей.
Суть L-кодирования сводится к следующему. Представим себе некое виртуальное программируемое устройство, состоящее из пера, управляющего им механизма и листа бумаги. Управляющий пером механизм способен исполнять несколько команд. А именно: он может опустить перо на бумагу и вычертить прямой отрезок заданной длины в направлении текущей ориентации пера (команда F). Он может изменить ориентацию пера по отношению к текущей на какой-то заданный относительный угол по часовой или против часовой стрелки (команды + и -). Он может также запоминать (заносить в стек) свое текущее состояние (команда [) и вспоминать (извлекать из стека) ранее запомненное состояние (команда ]). Под состоянием в данном случае понимается тройка чисел (x, y, a), где x и y - это координаты пера и а - это угол, определяющий направление ориентации пера. Таким образом, задав некое начальное направление а0, определив относительный угол поворота в 900 и задав длину отрезка, при помощи последовательности команд F+F+ F+F мы можем нарисовать квадрат. Определив относительный угол поворота в 600, при помощи последовательности команд F++F++F можно нарисовать равносторонний треугольник.
Предположим также, что в программы для нашего виртуального устройства, кроме пяти перечисленных команд, можно включать любые другие символы, которые управляющий механизм будет просто игнорировать. То есть если мы введем программу F+BF+CCF+CF, то устройство все равно нарисует квадрат. Теперь мысленно оснастим наше устройство приставкой, которая перед тем, как передать введенную программу на управляющий механизм, может заданное число раз просматривать ее, и при каждом очередном просмотре заменять любые символы последовательности по предварительно указанным правилам. Исходную программную последовательность символов теперь будем называть аксиомой. Например, введем аксиому FB+, и определим правило B < F+FB. Зададим также количество просмотров, равное, например, двум. Тогда на входе механизма после обработки введенной аксиомы приставкой получим последовательность FF+FF+FB+. Вот, собственно, и все. При помощи описанного несложного виртуального устройства можно строить множество самых разнообразных фрактальных форм - от традиционных математических фракталов, таких, как, например, снежинка Коха или кривая Гильберта, до структур, очень напоминающих растительную или подводную жизнь. Можете посмотреть на исходный код программы, объясняющий вышесказанное
На рисунке приведено несколько примеров фрактальных структур, построенных при помощи этой программы
 Рассмотрим, как кодируются L-системы       в общепринятых обозначениях. 
Движение вперед обозначается буквой F       (Forward – вперед), поворот по часовой стрелке обозначим «+», а против –       «-», причем само значение поворота задается в программе и постоянно для       всех движений. Буквой В (Back– назад) обозначается возврат без прорисовки,       нам это не пригодится. 
Для нас важнее механизм возврата. Точка, в       которую надо возвращаться, обозначим «[», а место, откуда происходит       возврат, обозначим «]». Тогда вилка будет иметь вид: F – движение вперед [       – запомнить позицию + – поворот вправо на 22.5 (например) градусов F –       движение вперед после поворота ] – возврат в запомненную позицию [ –       запомнить позицию - – поворот влево относительно направления в запомненной       точке F – движение вперед после поворота ] – возврат в запомненную позицию       
Это движение можно закодировать. Можно и более сложное. Можно       закодировать и следующий шаг – замену каждого прямого отрезка на такую же       вилку. Два шага нарисуют три шага, три шага - четыре шага.  Прорисовывать каждый шаг заменой текста программы       довольно утомительно, и мы вспоминаем о рекурсии. Самое подходящее для нее       место! Выполнив необходимые объявления переменных и передаче       значений координат точек возврата, мы добиваемся, что любое дерево рисуется по заранее заданной формуле одной маленькой процедуркой, которая       сама себя и вызывает. Скачайте пример на Visual Basic.       Программа позволит вам  с восхищением (ибо порядок прорисовки фрактально-непредсказуем) отслеживать на экране рост дерева.       
Запустив программу, вы увидете как она нарисует ветку,       клонимую ветром. Меняя переменную Kmax можно уменьшать или увеличивать       глубину рекурсии, или, что тоже самое, «пушистость» ветки. А меняя закон движения можно получать самые удивительные и фантастические изображения. 

Существуют и другие способы рисования фракталов

В интернете можно найти множество программ, рисующих фракталы. Вот программа, рисующая переливающийся лист. Можно использовать в качестве заготовки для будующего скринсейвера
Скачать исходный код
Также можете ознакомиться и с другими программами, рисующими фракталы
Генератор веток
Несколько видов фракталов
Фрактал Мандельброта
Еще один фрактал Мандельброта
Кривые Гилберта
Fractal Studio 0.17a

Использованные материалы

• http://sakva.net/fractals_rus/
• Гарри Корнелл «Программирование в среде Visual Basic 5»

Реклама

Что такое фрактал? — Полное руководство по пониманию фракталов

Фракталы в природе

Как только основная концепция фракталов понята, становится шокирующим видеть, сколько уникальных типов фракталов существует в природе. Некоторые из наиболее распространенных примеров фракталов в природе включают ветви деревьев, системы кровообращения животных, снежинки, молнии и электричество, растения и листья, географическую местность и речные системы, облака, кристаллы.

Фрактальные деревья:

Фракталы видны в ветвях деревьев по тому пути, по которому дерево отрастает конечности.Главный ствол дерева является исходной точкой для Фрактала, и каждый набор ветвей, которые растут из этого основного ствола, впоследствии имеют свои собственные ветви, которые продолжают расти и имеют свои собственные ветви. В конце концов ветви становятся достаточно маленькими, они превращаются в прутья, и эти прутья в конечном итоге вырастают в более крупные ветви и имеют собственные прутья. Этот цикл создает «бесконечный» узор ветвей деревьев. Каждая ветвь дерева напоминает уменьшенную версию всей формы.

Фракталы в телах животных

Еще одно невероятное место, где можно увидеть фракталы, — это кровеносная и дыхательная система животных.Если вы возьмете дыхательную систему человека, вы увидите фрактал, который начинается с одного ствола (похожего на дерево), который разветвляется и расширяется в гораздо более мелкозернистую сеть полостей.

Фрактальные снежинки

Мы все слышали, что каждая снежинка уникальна, и что одним из факторов, способствующих уникальности снежинок, является то, что они образуют фрактальные узоры, которые позволяют создавать невероятное количество деталей, а также вариации. В случае образования кристаллов льда начальная точка фрактала находится в центре, а форма расширяется во всех направлениях.По мере расширения кристалла фрактальные структуры формируются в каждом направлении. Как и в других примерах фракталов, которыми мы поделились выше, каждая итерация формы становится меньше и детальнее, что также способствует общей сложности формы.

Фрактал Молния и электричество

Если вы когда-либо наблюдали грозу, вы получаете представление в первом ряду одного из самых мощных проявлений фракталов в природе. Когда электричество проходит через среду, которая плохо проводит электричество (например, воздух), образующийся узор становится фрактальным.Причина возникновения этого явления в том, как электричество взаимодействует с воздухом. Когда ток проходит через воздух, он перегревается. Перегрев воздуха изменяет его электропроводность и позволяет току выходить наружу. Этот процесс повторяется для каждого уровня фрагментации, и вскоре вы получите фрактал. Вы заметите, что если перевернуть изображение удара молнии или электрического разряда, вы увидите большое сходство с деревом. Это потому, что оба являются фракталом.

Фракталы в растениях и листьях

В следующий раз, когда вы едите салат, ананас, брокколи или несколько других продуктов, вы на самом деле едите фрактал! У растений и листьев, как и у животных, есть внутренние структуры, которые распределяют питательные вещества через сеть фракталов.Эти структуры позволяют легко распределять жидкости и другие материалы, поддерживающие жизнь, по растению и поддерживать жизнь каждой клетки.

Помимо клеточного уровня, некоторые растения сами по себе выглядят фрактально. Одним из наиболее ярких примеров является брокколи, называемая брокколи Романеско. У этого типа брокколи невероятная структура шпилей, которые исходят из одного источника (подобно фрактальной снежинке), у которых, в свою очередь, есть свои шпили, которые продолжаются до кончика растения.

Папоротник — еще один прекрасный пример фрактала. Папоротники, по сути, состоят из одной и той же общей структуры, повторяющейся снова и снова.

Фракталы в географии, реках и ландшафте

Как и молния, деревья и растения, география, реки и ландшафт также часто попадают в категорию фракталов. Если вы задумаетесь о том, как формируется и выветривается местность, значительную часть ландшафта можно отнести к водной эрозии. Подобно сетям, которые распределяют жидкости по организму, реки и другие водоемы собирают, перемещают и распределяют воду по ландшафту.Прекрасным примером этого может быть путешествие, которое совершает вода, перемещаясь из ручья в реку, в озеро или другой большой водоем.

По мере того, как реки и другие водоемы образуются, они также вырезают географический ландшафт, который делает сушу водоемами также перемещающимися по фракталам. Отличный пример того, как фрактальная геометрия влияет на географию, — это измерение береговой линии. Если вы измеряете береговую линию линейкой длиной в милю, вы сможете получить очень приблизительную оценку длины береговой линии, но не сможете уловить какие-либо более мелкие детали, такие как неровности, гребни и выходы на поверхность. .Однако, если вы уменьшите линейку до ярда, вы внезапно сможете уловить гораздо больше мелких деталей, потому что ваш инструмент для измерения будет намного точнее. Каждый раз, когда вы увеличиваете степень детализации ваших измерений, вы можете увеличивать точность ваших измерений, что в случае береговой линии увеличит периметр, потому что вы сможете уловить больше этих мелких деталей. Поскольку береговые линии имеют фрактальную геометрию, детализация очень мала и приводит к очень большому периметру.

Другой способ подумать о моделировании геометрии береговой линии — подумать о задаче создания контура, если вы вынуждены использовать набор кубов. Чтобы детали были точными, кубики должны быть очень маленькими, иначе детали будут потеряны. Вы также можете приравнять эту проблему к разрешению изображения. Если у вас изображение с низким разрешением, пиксели очень большие, что делает изображение размытым и трудноразличимым. По мере увеличения разрешения изображения пиксели становятся меньше, а изображение становится более детальным.

Фракталы в облаках

Облака также отображают характеристики фракталов. Турбулентность в атмосфере оказывает интересное влияние на то, как частицы воды взаимодействуют друг с другом. Турбулентность является фрактальной по своей природе и поэтому оказывает прямое влияние на формирование и внешний вид облаков. Количество конденсата, кристаллов льда и осадков, выбрасываемых из облаков, влияет на состояние облака и структуру системы и, следовательно, на турбулентность.

Фракталы в кристаллах

Подобно ледяным образованиям, другие природные формы кристаллов, подобные тем, которые созданы из минералов, также могут проявлять фрактальные свойства. В зависимости от формы кристаллов и используемых минералов, некоторые из них имеют более фрактальный вид, чем другие. Прекрасным примером этого может служить кубическая природа некоторых образований аметиста или пирита.

Для получения дополнительной информации о фракталах в природе, мы рекомендуем вам изучить культовую книгу Бенио Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой впервые возникли эти идеи.

Как работают фракталы | HowStuffWorks

Когда большинство людей думают о фракталах, они часто думают о самом известном из них — множестве Мандельброта. Названный в честь математика Бенуа Мандельброта, он стал практически синонимом концепции фракталов. Но это далеко не единственный фрактал в городе.

Ранее мы упоминали папоротник, который представляет собой один из простых и ограниченных фракталов в природе. Ограниченные фракталы не существуют бесконечно; они отображают только несколько итераций конгруэнтных форм.Простые и ограниченные фракталы также не точны в своем самоподобии — листочки папоротника могут не идеально имитировать форму более крупного листа. Спираль морской ракушки и кристаллы снежинки — два других классических примера этого типа фракталов, встречающихся в мире природы. Хотя они не являются математически точными, они все же имеют фрактальную природу.

Ранние африканские художники и художники навахо заметили красоту этих рекурсивных узоров и стремились подражать им во многих аспектах своей повседневной жизни, включая искусство и городское планирование [источники: Eglash, Bales].Как и в природе, количество рекурсивных итераций каждого шаблона ограничивалось масштабом материала, с которым они работали.

Леонардо да Винчи также видел этот узор в ветвях деревьев, когда ветви деревьев росли и разделялись на несколько ветвей [источник: Да Винчи]. В 1820 году японский художник Кацусика Хокусай создал «Великую волну у побережья Канагавы», красочное изображение большой океанской волны, вершина которой разделяется на все меньшие и меньшие (самоподобные) волны [источник: NOVA].

В конце концов к делу подключились и математики.Гастон Джулия придумал идею использования петли обратной связи для создания повторяющегося паттерна в начале 20 века. Георг Кантор экспериментировал со свойствами рекурсивных и самоподобных множеств в 1880-х годах, а в 1904 году Хельге фон Кох опубликовал концепцию бесконечной кривой, используя примерно ту же технику, но с непрерывной линией. И, конечно же, мы уже упоминали, что Льюис Ричардсон изучает идею Коха, пытаясь измерить английские береговые линии.

Однако эти исследования такой сложной математики были в основном теоретическими.В то время не хватало машины, способной выполнять кучу математических вычислений за разумный промежуток времени, чтобы выяснить, к чему на самом деле привели эти идеи. По мере развития компьютеров увеличивалась и способность математиков проверять эти теории.

В следующем разделе мы рассмотрим математику, лежащую в основе фрактальной геометрии.

Что такое фрактал? — Определение с сайта WhatIs.com

К

Фрактал — это неправильная геометрическая форма, имеющая одинаковую степень неравномерности на всех уровнях.Фракталы можно рассматривать как бесконечные паттерны.

Точно так же, как камень у подножия холма может напоминать в миниатюре гору, с которой он изначально упал, так и фракталы самоподобны, независимо от того, смотрите ли вы на них вблизи или очень далеко. Термин «фрактал» был придуман Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Он происходит от латинского «фрактус », означающего неровную поверхность, подобную поверхности разбитого камня.

Фракталы — это формы, которые мы видим в природе.Мы можем описать прямоугольный треугольник с помощью теоремы Пифагора, но найти прямоугольный треугольник в природе — совсем другое дело. Мы находим в природе деревья, горы, скалы и облачные образования, но какова геометрическая формула облака? Как определить форму ложки сливок в чашке кофе? Фрактальная геометрия, теория хаоса и сложная математика пытаются ответить на подобные вопросы. Наука продолжает открывать удивительно последовательный порядок, стоящий за самыми, казалось бы, хаотическими явлениями во Вселенной.

Математики пытались описать фрактальные формы более ста лет, но с вычислительной мощностью и возможностями обработки изображений современных компьютеров фракталы приобрели новую популярность, потому что их можно визуализировать в цифровом виде и исследовать во всей их захватывающей красоте. Фракталы используются в школах в качестве наглядного пособия при обучении математике, а также в нашей популярной культуре в качестве компьютерных поверхностей для ландшафтов и планетных поверхностей в киноиндустрии. Использование алгоритмов для генерации фракталов может создавать сложные визуальные шаблоны для компьютерных приложений изображений (CGI).

См. Примеры фрактальных изображений.

Последнее обновление: август 2016 г.

Продолжить чтение о фрактале

Фракталы для чайников — Бруно Марион

Дары хаоса

Теории хаоса предлагают нам 3 совершенно новых и инновационных инструмента.

Эти 3 инструмента:

Давайте посмотрим на фрактальные изображения 🙂

Фракталы для чайников

Фракталы потрясающие.Возможно, вы видели одно из этих видеороликов о структуре внутри структуры внутри структуры в бесконечной, казалось бы, серии. Помимо их удивительной эстетики и гипнотического эффекта повторения, фракталы особенно интересны, потому что они, кажется, показывают, что вы можете иметь бесконечное количество уровней, масштабов или итераций в пределах ограниченной структуры. Другими словами: все, что конечно и фрактально, может содержать бесконечное внутри себя.

На создание этого видео потребовалось 16 дней круглосуточных расчетов.198 раз — здесь слишком много нулей, чтобы писать в других обозначениях — масштабирование. Изготовлен в 2014 году.

С тех пор тому же самому ютуберу удалось вычислить еще одно фрактальное видео, на этот раз показав 750 миллионов итераций:

Как нетрудно догадаться, ограниченное количество итераций связано только с ограничением вычислительной мощности. Суперкомпьютер может иметь больше итераций, супер квантовый компьютер — еще больше и так далее. Дело в том, что теоретически можно вычислить бесконечное количество итераций, непрерывно и бесконечно увеличивая масштаб в ограниченном пространстве. Сходство паттернов в неопределенном количестве вхождений и уровней перекликается с бесконечностью.

Неудивительно, почему так много нематематиков «чувствуют», что фракталы заставляют их задуматься о смысле жизни. Что значит быть конечным — занимать ограниченную часть пространства, родиться в такое время и в таком месте, вероятно, умереть в какое-то время и в каком-то месте — , когда даже самая маленькая часть пространства может вместить бесконечность? Похоже, что вселенная состоит из бесконечного количества частей, которые также имеют бесконечное количество частей.Бесконечность бесконечности в бесконечности. Также как «бесконечное восприятие». Но чтобы засвидетельствовать это, вам понадобится фрактальный феномен.

Как были обнаружены фракталы

Фракталы широко приписываются математику Бенуа Мандельброту (1924-2010). Студент французской политехнической школы école polytechnique , затем преподаватель в Гарварде, Мандельброт был эрудитом, получил степень магистра в области воздухоплавания, но всю жизнь увлекался фондовыми рынками.

За свою долгую карьеру ему было поручено изучать и преподавать дополнительные наборы, называемые наборами Жюлиа и пылью Фату, двумя дополнительными математическими наборами, над первыми из которых ранее работал математик Гастон Джулия, который был одним из его учителей. Мандельброту посчастливилось иметь доступ к совершенно новым компьютерам IBM, которые в то время все еще оставались академической роскошью. Используя их для генерации множеств Жюлиа, он выделил из них подкласс, который оставался неизменным независимо от их масштаба. Такие множества имели гораздо более высокую степень рекурсии и самоподобия, чем другие множества Жюлиа.

Набор Джулия

Мандельброт назвал эти множества фракталами . Он придумал это название из латинского Fractus , что означает «сломанные или раздробленные», поскольку такие множества никогда не были гладкими, как евклидово право, но — почти — одинаково задуманными, изогнутыми, острыми и т. Д. В любом масштабе. В 1975 году он опубликовал книгу на французском языке ( Les objets фракталы: форма, хасард, измерение ), вскоре обновленную, за которой последовала еще одна работа на английском языке ( The Fractal Geometry of Nature , 1982).Последний показал, что фракталов не были математическими артефактами, как может намекать их «виртуальное» происхождение, а явлением, которое действительно происходит в природе.

Цветная капуста Романеско, используемая в качестве основного иллюстративного рисунка для этой статьи, шов аммонита, куст папоротника и некоторые горные хребты — это лишь небольшой образец всех природных объектов, которые демонстрируют самовоспроизводящийся аспект .

Его наборы прославились, Мандельброт вернулся к тому, что он считал их наиболее интересным применением: рынкам.В работе Fractals and Scaling in Finance (1997) он продемонстрировал, что финансовых операторов полагались на ненадежные инструменты, но сумели «получить их», настроив указанные инструменты на основе предположений. В статье Неправильное поведение рынков: фрактальный взгляд на финансовую турбулентность (2006) он показал, что невозможно предсказать будущую рыночную стоимость из-за, среди прочего, нелинейности и отсутствия периодичности в рыночных циклах. , даже если хаотические колебания не произошли совершенно случайно.Нассим Талеб, книги которого легче читать не математикам, был очень вдохновлен Мандельбротом.

Месть Декарта

Там, где Мандельброт не наступал или не слишком много — а он уже многое сделал — другие сделают. В 1995 году математик предварял книгу Fractals in Petroleum Geology and Earth Processes , авторскую работу нескольких авторов, посвященную методам оценки запасов сырой нефти, топографическим эффектам бурения и другим связанным месторождениям. В спецэффектах фильмов для улучшения внешнего вида обычно используются фракталы.В 2004 году Google признал, что Джулия, бывшая учительница Мандельброта, заложила краеугольный камень отрасли математики, на основе которой они разработали технологию PageRank.

111 лет со дня рождения Гастона Джулии, Google Doodle (2 февраля 2004 г.)

Как писал ученый Стивен Вольфрам:

Мандельброт закончил тем, что проделал большую научную работу и выявил… фундаментальную идею. Проще говоря, есть некоторые геометрические фигуры, которые он назвал «фракталами», которые одинаково «грубые» во всех масштабах.Независимо от того, насколько близко вы смотрите, они никогда не станут проще, так же как участок скалистой береговой линии, который вы видите у своих ног, выглядит таким же неровным, как участок, который вы видите из космоса…

Природа сложнее классической геометрии. Наука о правах, квадратах, конусах и т. Д. Основана на приближении. Он хорошо работает для предсказуемых явлений без проблем с масштабированием, таких как механика, в которой Архимед или Леонардо да Винчи преуспели, а также для звезд, планет и комет, положение которых Ньютон точно предсказал положение в определенные даты.Однако , если мы посмотрим на Землю и меньшее по размеру, а не на так называемое платоновское или геометрическое небо, мы увидим не плавные формы, а более грубые фракталы.

Хотя Мандельброт родился польским евреем, он собрал все необходимое во Франции, прежде чем нашел фракталы. Это похоже на ироническую месть со стороны Рене Декарта (1596-1650), основателя картезианской философии, который в своем «Рассуждении о методах » в советовал осознавать меньшее и приземленное, в чем вы можете быть уверены, вместо того, чтобы задавать вопросы о сомнительных вещах. которые связаны с модой и престижем.Ньютон всегда отвергал теорию космоса Декарта, и, хотя его собственная теория Вселенной была образцовой, английский астроном очень заботился о славе и репутации, вплоть до клеветы на своего соперника Лейбница из-за личного спора.

В нескольких аспектах Мандельброт был картезианцем: он продвигался через терпеливые, осторожные математические оценки и больше заботился о правильных вещах, чем о беге к моде. Ему потребовались годы, чтобы превратить скучную книгу 1975 года в завораживающий взгляд на природу, хотя его новые идеи были полностью заимствованы из старых.Нынешний статус Мандельброта pop , добавленный к его научным открытиям, можно рассматривать как своего рода ироническую внешность — или как фрактал сам по себе, мир науки, производящий ученых «поп-звезд» в произвольном масштабе.

Однако ньютоновский синтез не более мертв, чем евклидова геометрия. Совершенно нефрактальная модель Ньютона сама по себе является прорывом, и ее все еще можно использовать для отслеживания множества небесных тел. Евклидова геометрия по-прежнему усердно изучается студентами STEM.Фракталы просто напоминают нам, что , независимо от полезности конечных математических моделей и ньютоновской геометрии, они всегда являются «картинками в наших головах» , как сказал бы американский журналист Уолтер Липпманн. Реальный мир довольно фрактален и полон бесчисленных явлений. Это устрашающе из-за своей сложности, выходящей за рамки нашей проницательности, и в то же время увлекательно. Даже часть пространства, занимаемая вашим телом, держит бесконечность! Чтобы это увидеть, вам просто понадобятся фрактальные линзы.Как сказал бы Хайдеггер, здесь тоже присутствуют боги.

Возможно, именно это заставило Мандельброта сказать, что он чувствовал себя скорее искателем, чем изобретателем. В конце концов, он в основном исследовал неожиданную область благодаря прогрессу ИТ. Он не создавал фракталов. Возможно, никто этого не сделал. Тем не менее фракталы, кажется, играют важную роль в ритме эволюции и более чем вероятно помогут нам навести порядок в нынешнем хаосе.

Дождливый полдень в Бретани

Какова длина побережья?

В один дождливый день в Бретани, размышляя о способах занять троих детей, которые нас посещали, я подумал об интересной игре:

Узнайте длину побережья Бретани.Тот, кто ближе всего подходит к правильному ответу, выигрывает кусок Куин-Аманна.

(Для тех, кто не из Бретани, это местный пирог, настолько вкусный, что, попробовав его, вы просто не можете перестать есть.)

После короткого молчания трое детей вернулись, все полагая, что нашли правильный ответ. Старший показал мне карту Франции, которую он использовал для вычислений, и гордо объявил: около 260 км. Его младший брат объявил, что, по его мнению, побережье почти вдвое больше, а это 500 км.И чтобы подтвердить свой вывод, он добросовестно показал нам свои расчеты, сделанные на основе гораздо более подробной карты Бретани, используемой треккерами. Наконец, младший почти пренебрежительно заявил, что оба его старших брата ошиблись:

Побережье Бретани, на мой взгляд, сказал он, невозможно измерить, так как оно бесконечно длинно: просто попросите улитку обойти все свои скалы, чтобы понять, что оно намного длиннее, чем было у моих братьев. подтверждено.Мои братья думают, что они умнее только потому, что они больше!

Мандельброт тоже считал побережье Бретани прекрасным примером фрактальной географии. В его книге о фракталах в природе есть глава о самом легендарном Западном побережье Франции, где он показывает, что — все зависит от высоты, с которой человек хочет масштабироваться. Мы могли бы определить берег как дробь, то есть как — нецелое число, которое не может быть сведено к одному из трех измерений, с которыми обычно имеет дело классическая геометрия.

Я дал всем троим детям кусочки Куин-Аманна. И на этом история не заканчивается. На следующий день тоже шел дождь. (Злобные языки говорят, что недождливый день в Бретани — это не бретонский день .) Я воспользовался этим, чтобы попросить детей описать то, что они видели, на фрактальных изображениях. Вот что они сказали — и если дети могут распознавать и определять фрактальные образы, большие дети, такие как мы, тоже должны уметь это делать.

Это набор Мандельброта или группа:

Комментарий Джереми (6 лет):

Вы делаете большой круг, затем поменьше рядом с большим и еще поменьше на меньших, и когда они становятся слишком маленькими, вы делаете точки.

На этом изображен четкий узор и простой способ построения фрактального изображения:

Комментарий Кевина (7 лет):

Есть крест внутри креста внутри креста внутри креста внутри креста!

Эта называется снежинка Коха :

Комментарий Бертрана (8 лет):

Y Вы не можете измерить его линейкой; это никогда не прекращается.

Вы заметите, что внешняя линия снежинки (d), хотя и имеет бесконечную длину, если мы продолжаем увеличивать и снова увеличивать масштаб, вписывается в ограниченную поверхность. Другими словами, бесконечная длина появляется на ограниченной поверхности.

Этот куб называется губкой Менгера:

Комментарий Джереми:

Это похоже на конструктор Lego с кубом, который помогает нам сделать куб большего размера, который помогает нам сделать куб большего размера, который помогает нам создавать куб большего размера.

Комментарий Кевина:

Чем ближе вы подходите или чем дальше отдаляетесь, тем больше похоже на .

Каждую часть можно увидеть в любом масштабе: каждая часть (визуально) является копией целого. Это самоподобие. Внутри снежинки вы можете увидеть структуру с шестью секциями, и если вы увеличите масштаб одной секции, то увидите, что она тоже состоит из шести секций, до бесконечности . То же самое и с облаками, горами, громовыми молниями, деревьями, реками, засыхающей почвой и даже с галактиками.

Обобщить

К настоящему времени я надеюсь, что вы лучше поняли, что такое фракталы.Подводя итог:

• Фракталы были открыты во второй половине двадцатого века математиком Бенуа Мандельбротом в Гарварде на основе работ французского математика Гастона Жюлиа;
• Не вдаваясь в математические подробности, фрактальный объект или явление может быть признано благодаря его самоподобию и его способу воспроизведения того же образца или структуры в любом масштабе ;
• Фракталы не могут быть поняты с помощью классической или евклидовой геометрии , поскольку их структуры всегда слишком зубчатые, чтобы их можно было адекватно свести к прямым, треугольникам и другим классическим формам, и, как и , они никогда не становятся более гладкими ;
• Хотя фракталы и обнаруживаются в лабораториях с помощью компьютерных вычислений, они в первую очередь являются естественным явлением ;
• Фракталы доказывают, что конечное пространство, независимо от его размера, может содержать бесконечное количество частей или уровней наблюдения.

Фракталы также тесно связаны с теориями хаоса, в основном потому, что они, как правило, представляют собой хаотические системы, но этот момент лучше оставить на другой раз.

Морозные кристаллы на холодном стекле образуют фрактальные узоры. Фото из Schnobby

А теперь что насчет вас?

Используя относительно простые математические формулы, математики могут создавать сложные геометрические конструкции, от бесконечно малого повторяющегося узора до бесконечно большого, которые максимально точно воспроизводят природу.Не идеально, на самом деле, далеко не так, но гораздо точнее, чем это делала традиционная геометрия.

Фракталы также имеют приложения далеко за пределами узконаучных областей. Их можно использовать в более профессиональных или практичных областях, таких как управление, понимание мира и оптимизация наших повседневных дел.

Это то, о чем мой блог.

Если вы все еще со мной, вы можете взглянуть на мою книгу Хаос, руководство пользователя или посмотреть эксклюзивную конференцию о том, как разумно адаптироваться к постоянно растущему фрактальному миру.

А теперь ознакомьтесь с другими дарами хаоса: эффектом бабочки и странным аттрактором.

Береги себя!

Бруно Марион, монах-футурист

Фракталы в математике: определение и описание — видео и стенограмма урока

Самоподобие

Поскольку фракталы повторяют что-то снова и снова, определяющей характеристикой фракталов является их самоподобие . Это означает, что объект подобен или полностью совпадает с частью самого себя.Например, посмотрите на это изображение. Глядя на все изображение, вы видите, что у вас есть то, что мы называем пятью лепестками, окружающими центр. Теперь посмотрите на каждый лепесток. Каждый лепесток — это целое изображение в миниатюре. Каждый из этих лепестков имеет пять мини-лепестков, окружающих его собственный центр. Каждый из этих мини-лепестков — это снова цельное изображение. Но на этот раз мини-лепестки — это уменьшенная версия всего изображения. Это фрактал, потому что узор повторяется в лепестках снова и снова. Узор с каждым разом становится все меньше.Можно сказать, что узор во фрактале внутренне повторяется снова и снова. То же самое на изображении заменяется тем же изображением. В этом случае заменяемое изображение представляет собой пять лепестков, окружающих центр. Каждый лепесток заменяется одним и тем же изображением. Да, с помощью этих замен мы можем получить бесконечно малые размеры. Вы можете взять почти что угодно и повторить это внутренне, чтобы получить фрактал. Посмотрите на эти другие примеры фракталов. Интересно, что у этих фракталов есть особые названия. В порядке сверху, у нас есть остров Госпера, снежинка Коха и фрактал коробки.Вы можете увидеть, как они увеличивают фрактал, повторяя одну и ту же форму снова и снова.

На острове Госпер повторяется форма трапеции; это верхняя половина шестиугольника. Теперь посмотрите на шестиугольник. Отрежьте верхнюю половину. Теперь возьмите эту верхнюю половину и уменьшите ее до размера, чтобы нижняя часть составляла одну треть длины верха исходного шестиугольника. Теперь поместите этот полушестиугольник в середину вершины шестиугольника и на каждой стороне исходного шестиугольника. Теперь у вас есть второе изображение в серии.Затем вы берете ту же половину шестиугольника и снова уменьшаете размер. Теперь добавьте эту половину шестиугольника к верхней линии второго изображения и к линии слева от верхней линии, и повторите это для каждой выпуклости на втором изображении в серии. Теперь у вас есть третье изображение в серии. Теперь продолжайте повторять эту схему снова и снова, и у вас есть остров Госпер.

В снежинке Коха повторяется треугольник. Он очень похож на остров Госпер, за исключением того, что весь наш треугольник повторяется.На этот раз наш треугольник сжимается на каждом этапе и помещается в середину каждой стороны нового изображения в серии. Это повторяется, и вы получаете снежинку Коха.

В прямоугольном фрактале это квадрат. Вместо добавления квадрата к каждой стороне нового изображения, во фрактале прямоугольника каждый черный квадрат разделен на сетку 3 x 3 из черных и белых плиток. Каждый раз, когда вы видите черный ящик, вы заменяете его сеткой 3 x 3 из черно-белых плиток. Это прямоугольный фрактал.

Fractal Fraction

Вы можете не только создавать фракталы с изображениями, как то, что мы только что видели, вы также можете создавать фракталы из чисел. Например, мы можем создать очень сложную дробь, повторив один и тот же узор. Начнем с числа 2. Мы можем переписать 2 как 4/2. Затем мы можем переписать 4/2 как 3/2 + 1/2. Итак, наши 2 теперь равны 3/2 + 1/2. Теперь мы можем использовать это уравнение как бесконечный образец. Где бы мы ни увидели 2, мы заменим его на 3/2 + 1/2. Давайте проделаем это в течение двух раундов и посмотрим, что у нас получится.Ух ты! Посмотри на это! Все, что находится в правой части уравнения, — это всего лишь 2, записанные в фрактальной форме. Мы прошли с ним всего два раунда. Представляете, что бы вы получили, если бы прошли третий и четвертый раунды? Это называется фрактальной дробью. Как видите, мы взяли наш образец и продолжали его повторять. Мы продолжали заменять 2 на 3/2 + 1/2. Как видите, мы можем продолжать делать это бесконечно. Однако в конечном итоге нам пришлось бы записывать дробь в кошмарном виде. Интересно, что существуют программы фракталов, которые полагаются на математическую форму фракталов для создания очень интересных изображений.

Фракталы в природе

Теперь мы видели фракталы в изображениях и фракциях. Давайте посмотрим на один из них в реальной жизни. Посмотри на брокколи. Вы не поверите, но это настоящая брокколи, которую можно купить и съесть. Его называют брокколи романеско. Выглядит довольно аккуратно, и это очень хороший пример естественного фрактала. Вы видите, что каждая рожок похожа на целую брокколи? Да, эта брокколи — пример самоподобия.

Резюме урока

Давайте рассмотрим то, что мы узнали.В математике фрактал — бесконечный паттерн. Поскольку фракталы повторяют что-то снова и снова, определяющей характеристикой фракталов является их самоподобие . Это означает, что объект подобен или полностью совпадает с частью самого себя. Мы умеем создавать фрактальные изображения и фрактальные фракции. Есть также живые существа, которые показывают работу фракталов.

Фракталы

Нет сомнений в том, что почти каждый на этой планете видел фрактал в своей жизни,
хотя многие об этом даже не подозревают.Все природные явления на нашей планете можно описать в
математические термины. Здесь в игру вступает тема фракталов. Происходят фракталы
повсюду в природе и иногда могут быть изображены как составляющие основу нашей жизни. Существование
способность понять структуру математического фрактала открывает способность понимать
как все в этом мире было сформировано. Фрактал определяется как грубая или фрагментированная форма.
которые можно разбить на более мелкие части, которые можно рассматривать как уменьшенную копию оригинала
форма.Почти невозможно описать естественные явления в нашем мире, такие как облака,
деревья, растения и так далее, в виде геометрических изображений. Вот почему фракталы так важны
о том, как устроена природа. Эта история фракталов довольно интересна, если учесть, что
«отец» фракталов скончался несколько недель назад. Также смотрю на разные виды
наборов, описывающих фракталы, имеет большое значение для их общего применения. Наконец-то,
Я напишу о компьютерном программировании фракталов и о том, как создавать их самостоятельно.

Бенуа Мандельброт считается отцом фрактальной геометрии. Он сказал, что первое, что
заставило его даже задуматься об идее фракталов, когда он пытался выяснить, как долго
побережье Британии было. Он обнаружил, что если вы посмотрите на карту и продолжите увеличивать ее,
шаблоны появятся. [Хоффман 2010]. Идея, которую он использовал для наиболее точного измерения береговой линии
Британии определялось продолжительностью правителя, который он будет использовать.Он показал, что линейки меньшего размера более точны.
потому что они лучше вписываются в неровности побережья, чем при использовании одной большой линейки.
Он пришел к выводу, что по мере того, как шкала измерения, которую он использовал, уменьшалась в размерах, фактическая длина береговой линии
увеличивается [Laubender 1999]. Это показывает, что мы можем увеличивать масштаб береговой линии бесконечное количество раз, используя
меньшая единица измерения и продолжайте получать более точную оценку. Мандельброт всегда говорил не думать
о том, что вы видите, но о том, что нужно, чтобы сделать то, что вы видите.«Ключ к фрактальной геометрии … в том, что если вы посмотрите на
на поверхности вы видите сложность, и она выглядит очень нематематической »[Jersey and Shwarz 2008]. Его исследования о
Береговая линия Британии приводит к одной из основных идей фракталов, известной как самоподобие. «Множество S называется
самоподобный, если S можно разделить на k конгруэнтных подмножеств, каждое из которых может быть увеличено в постоянный коэффициент
M, чтобы получить весь набор S »[Шапиро, 2010]. Глядя на береговую линию Британии издалека и
затем если увеличить масштаб очень близко, изображения будут выглядеть одинаково.Самоподобие — одна огромная принципиальная идея
при классификации того, что такое фрактал. Хотя именно Мандельброт ввел термин «фрактальная геометрия» в
В 1975 году до него было много математиков, которые заметили это свойство самоподобия.

Простое начало понимания образования фракталов — это посмотреть на треугольник Серпинского. Вацлав Серпинский
был польским математиком, наиболее важные работы которого были в области теории множеств, теории чисел и точечных множеств.
топология [Загадка 2010].Серпинский придумал сначала посмотреть на большой равносторонний треугольник. Затем он начал
разделить этот большой треугольник на четыре равносторонних треугольника меньшего размера. Это действие повторяется снова и снова, оставляя
центральный треугольник открывается каждый раз [Lauwerier 1991]. Глядя на этот треугольник и разделив его на бесконечное количество
Times демонстрирует идею самоподобия, на которой основаны фракталы. Посмотрев на дизайн
Треугольник Серпинского, можно сделать вывод, что при увеличении количества треугольников длина и площадь
треугольники уменьшатся.к \ нечисловое \\\
\ end {align} \ endequation Мы должны понимать, что мы можем взять одну часть этого разделенного треугольника, и он будет
выглядят точно так же, как и сам треугольник, и поскольку количество итераций стремится к бесконечности, площадь каждого
треугольник стремится к нулю, но никогда не будет равняться нулю.

Другой тип фрактального изображения называется кривой Коха. Хельге фон Кох был математиком, изучавшим кривые.
без касательных. Он придумал, что любой отрезок линии можно описать как бесконечно длинный.Идея кривой Коха или фрактала состоит в том, чтобы взять один отрезок прямой некоторой длины, $$ l $$. Тогда возьми это
отрезок и разделите его на три разных отрезка равной длины. Взяв средний сегмент и разделив
его пополам и формируя из него равносторонний треугольник, расширяем длину всего отрезка линии
при сложении. Например, если мы берем линию длиной 1 и вынимаем среднюю треть отрезка
и сложив его в равносторонний треугольник, мы получим четыре меньших отрезка длиной 1/3.Итак, оригинал
строка длины 1 превратилась в длину 4/3. Повторяя это, длина оригинала будет увеличиваться.
отрезок прямой [Lauwerier 1991]. Если бы мы применили этот процесс к определенной форме, равносторонний
Например, треугольник, в результате получится фигура, похожая на снежинку. Показана эта снежинка Коха
иметь бесконечный периметр, но конечную площадь. Чтобы это увидеть, пусть $$ N_k $$ будет числом сторон
снежинка после завершения k-го шага процесса.k $$ Посмотрев на
Из этого уравнения мы можем видеть, что по мере того, как k стремится к бесконечности, периметр тоже. Тогда мы можем сделать вывод, что Кох
снежинка как конечная площадь, но бесконечный периметр [Шапиро 2010].

Немецкий математик Грег Кантор, который был одним из основоположников теории множеств, открыл фрактал Кантора.
Этот фрактал похож на кривую Коха. Подобно кривой Коха, мы начинаем с одного отрезка прямой
и разделите его на три части. Затем удалите среднюю треть, но оставьте конечные точки.(-n) \\
\ hline \ end {tabular} \ end {center}
Как видно из этой таблицы, длина линий стремится к нулю по мере того, как мы увеличиваем количество применяемых шагов.
Вот почему фрактал Кантора также известен как множество точек Кантора. Другой способ рисования Кантора
Чтобы сделать его более ясным, нужно использовать горизонтальные полосы, а не просто прямые линии. Повторяя шаги
убрав среднюю треть, мы получим картинку, больше похожую на гребешок [Lauwerier 2010].
В 1977 году, когда Бенуа Мандельброт изучал концепцию фракталов, он также обнаружил, что фракталы
иметь размер.Он объяснил, что фракталы обладают емкостью, и ее можно определить по формуле. «Понятие фрактала
измерение позволяет измерить грубость фрактальных кривых. Чем более неровная и неровная кривая, тем выше
ts фрактальная размерность, значение от одного до двух. Дробное измерение связано с самоподобием в том смысле, что
Самый простой способ создать фигуру дробного размера — это самоподобие »[Laubender 1999]. До
объясняя, от чего зависит формула, мы должны быть уверены, что при увеличении фрактального изображения
граница того, что мы увеличиваем, должна совпадать с границей всего фрактала.После подтверждения
количество отрезков или отрезков, которые вписываются в больший отрезок, должно быть определено. Назовем этот номер n.
Нам также необходимо знать масштаб или во сколько раз мы увеличили весь фрактал, который мы
будет называть M. Затем мы можем определить фрактальную размерность как: \ beginquation \ begin {align} D = (log (n))
/ logM / nonumber // \ end {align} \ endequation [Shapiro 2010] Используя это уравнение, мы можем применить его к фракталу
это только что обсуждалось, кривая Коха.Сначала мы можем посмотреть на размер кривой Коха после выполнения
процесс всего один раз. Итак, есть один отрезок линии, который делится на четыре равносторонними
треугольник посередине. Теперь у нас есть четыре отрезка, и мы можем сказать, что $$ n = 4 $$. Потому что эти четыре штуки
1/3 длины исходного отрезка линии, тогда масштаб или увеличение равно 3. Таким образом, используя определение для
фрактальной размерности, мы имеем $$ D = log4 / log3 $$, что дает нам D = 1,26185… Поскольку это число имеет размерность больше
чем 1, и является целым числом, то можно сделать вывод, что кривая Коха действительно фрактал.

Гастон Джулия был французским математиком, интересовавшимся поведением орбиты комплексного числа.
когда он повторяется под функцией. Это означает, что для функции, а именно f, мы применяем ее к комплексному числу.
Каким бы ни был результат, примените ту же функцию к новому значению. Джулия повторяла это действие снова и снова, чтобы посмотреть, как подействуют результаты. Он пришел к идее множества заключенных и множества побегов, изучая, как итерация определенных функций дает ограниченные или неограниченные множества.2 — (- \ imath) + 1 = \ imath \ nonumber \\ z_4 = f (\ imath) = — \ imath \ nonumber \\
\ конец {выравнивание} \ endequation
Поскольку выходы переключаются вперед и назад, мы называем значение $$ z_0 = 1 + \ imath $$ заключенным. Если бы мы выбрали значение
чтобы начать и повторять его под функцией, и значения должны были стать бесконечно большими или маленькими, тогда мы бы
есть беглец [Spitznagel 2000].

Понимание того, что такое наборы заключенного и побега, дает лучшее понимание того, что такое наборы Джулии.
«Множество Джулии определяется как граница между множеством заключенных и множеством побегов» [Spitznagel 2000].2 + c $$, где c представляет собой комплексную константу. Для
каждый другой c, который мы используем в этой функции, мы получим другой набор Julia. Мы выбираем $$ z_0 $$ для начала
все, что мы выберем для c. Было показано, что если орбита начального значения $$ z_0 $$ когда-либо находится
вне круга, имеющего радиус 2, тогда остальная часть орбиты будет неограниченной и, следовательно, беглец
[Шпицнагель 2000]. После выбора значения c, которое мы хотим использовать в нашей функции, мы можем сгенерировать набор Julia
за компьютером.Мы используем любое комплексное число, которое мы выбрали в качестве начального значения $$ z_0 $$. Для каждого пикселя на
на экране компьютера черный цвет назначается, если значение ограничено или заключенный, и окрашивается в белый цвет, если
он не ограничен и стремится к бесконечности [Bourke 2001]. Вот где все эти красочные художественные образы, которые мы видим
происходит от. Многие используют разные цветовые схемы вместо черно-белого, чтобы получить эти яркие изображения.

Еще одно известное множество, которое в некотором роде связано с множеством Жюлиа, было обнаружено Бенуа Мандельбротом и называется Мандельбротом.
установленный.2 + c $$. Мандельброт хотел найти ценности
of c, что сделало набор ограниченным, и аналогично значения c, которые сделали орбиту неограниченной, когда эта функция была повторена
всегда начинается с $$ z = 0 $$. Однако какая разница между тем, что Гастон Джулия мог делать со своими данными, и тем, что?
Мандельброт мог обойтись своим. Время, когда Мандельброт изучал фракталы, было гораздо более поздним, чем когда Джулия,
в то время, когда существовали компьютеры. В результате Мандельброт мог сделать сотни тысяч итераций
функция с помощью компьютера, где Джулия могла вычислить только небольшое количество из них вручную.2 + c для итерации
первые n точек орбиты, начиная со значения 0. \ item Если орбита не ограничена, раскрасьте соответствующие
c на сетке определенного цвета. \ item Если орбита ограничена, то раскрасьте соответствующее значение c на сетке a
разные цвета. \ item Перейдите к следующему значению c и продолжайте повторять, пока не будут учтены все значения c
для \ end {enumerate}
Существует множество алгоритмов для создания собственных фракталов на компьютере и множество веб-сайтов, которые могут показать свойства
самоподобие в множествах Мандельброта, а также в создании оригинальных фракталов путем простого выбора определенных комплексных чисел.

Знание и понимание того, что такое фрактал, дает множество преимуществ, независимо от того, в какой предметной области вы работаете.
Фракталы наблюдались практически у всех живых существ в природе, от деревьев в тропических лесах до наших человеческих тел.
Но фракталы также помогли нам значительно продвинуться вперед в области технологий и развлечений. Фракталы,
или, более конкретно, снежинка Коха, использовались, чтобы уменьшить антенны наших сотовых телефонов при одновременном увеличении
количество частот, которые они могут получить [Jersey and Shwarz 2008].Фракталы также широко используются в области медицины.
Одним из таких примеров является то, что здоровое сердцебиение, записанное на бумаге, имеет фрактальный узор. Это помогло врачам
предвидеть людей, у которых в будущем могут быть проблемы с сердцем [Jersey and Shwarz 2008]. Еще один пример того, где
фракталы используются в компьютерных науках, чтобы повысить достоверность спецэффектов и графики в современных
фильмы [Джерси и Шварц 2008].

Одно из конкретных применений фракталов в спецэффектах в фильмах связано с фильмом «Звездные войны: Эпизод III».Часть фильма — это когда два героя сталкиваются с концом гигантской механической платформы и огромной субстанцией.
перед ними обрушивается лава. Первоначальный процесс, который они использовали для производства этой лавы, заключался в том, чтобы сделать ее
Кажется, что лава выбрасывается из струи ниже механической платформы. Сначала графика
лава выглядела крайне нереально и представляла собой просто прямой цилиндр лавы, текущей вверх по воздуху. В
Создатели хотели, чтобы это выглядело более реалистично, поэтому они взяли идею фрактала и применили ее к этому цилиндру.
спиральная форма лавы.Они взяли исходную форму, уменьшили ее и применили заново. Они повторили это снова и
еще раз, чтобы получить чрезвычайно реалистичный огромный шар огня и лавы \ cite {Jersey and Shwarz2008}. Многие могут не знать
или понять, как внезапно начались фильмы, созданные исключительно компьютером. Первый фильм с полноценным компьютером
сгенерированная последовательность была Star Trek II: The Wrath of Khan \ cite {Jersey and Shwarz2008}. Этот фильм был создан в 1982 году.
менее чем через десять лет после того, как Мандельброт обнародовал идею фракталов.Фракталы — вот что заставляет компьютер генерировать
возможны образы, и без открытий Мандельброта у нас не было бы потрясающей графики в наших фильмах и играх сегодня.

Грандиозное открытие, которое сделал Бенуа Мандельброт в отношении фракталов, изменило способ создания фильмов, видеоигр и т. Д.
компьютерные игры и т. д. Fractals позволили создавать изображения из реальной жизни с помощью компьютера. Лорен Карпентер,
который сейчас работает в анимационных студиях Pixar, известен своей работой в области информатики с фракталами и использованием
их для создания компьютерных изображений.Он работал в самолетах Boeing, и его работа заключалась в том, чтобы посмотреть, как
самолеты, которые они идеализировали и создавали, выглядели в полете. Он хотел сделать горы на заднем плане.
чтобы он выглядел максимально реалистично. Итак, после прочтения Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, шанс и измерение»,
он узнал, что любую поверхность можно разбить на более мелкие и простые формы. Затем он смог создавать изображения
треугольники на четыре меньших и продолжал повторять, пока не получил зубчатую форму гор [Jersey and Shwarz 2008].

В заключение, фракталы — это геометрические фигуры, которые имеют одинаковые повторяющиеся узоры в масштабе, который бесконечно уменьшается.
Сначала, глядя на красочную картинку фрактала, можно подумать, что это просто творческое произведение искусства.
Однако после изучения математической основы, стоящей за ними, они стали намного глубже, чем просто произведение искусства.
Бенуа Мандельброт считается отцом фрактальной геометрии и ввел термин «фрактал». Он показал, что каждый
живое и неживое в этом мире можно разбить на математические термины с помощью фрактальной геометрии.Его первый
К этой теории привел эксперимент по вычислению длины береговой линии Великобритании. Два основных принципа, которые
определяют фрактал самоподобие и фрактальную размерность. Самоподобие просто означает, что узор выглядит одинаково
независимо от того, насколько он увеличен. Фрактальная размерность важна, потому что она показывает, что фракталы обладают емкостью и что
это не просто плоские изображения. Вместе с Бенуа Мандельбротом, Вацлавом Серпински, Гастоном Юлией, Хельге фон Кохом Грегом Кантором
все они очень важные математики в истории фрактальной геометрии.У всех этих математиков есть свои формы
или типы обнаруженных ими фракталов. Одним из самых популярных является множество Мандельброта, описывающее
итерация функции с использованием комплексных чисел. Хотя предметом фрактальной геометрии является чисто математика, многие люди
нашли способы перенести это за пределы математики в информатику, здравоохранение и даже моду и искусство.
Фракталы используются для того, чтобы наши фильмы выглядели потрясающе, чем жизнь, и чтобы наши компьютерные и видеоигры ощущались
как будто мы прямо там в них.Открытие фракталов позволило нам уменьшить размер наших сотовых телефонов.
каждый год, и в то же время они помогают врачам предвидеть проблемы с сердцем в нашем организме еще до того, как они
случаться. Без открытия фракталов наши технологии, развлечения, наше здоровье и т. Д. Не были бы там, где нужно.
это сегодня.

Список литературы
Бурк, П. Джулия Set Fractal (2D) (2001).
http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/juliaset/

Hoffman, J. Бенуа Мандельброт, новый математик, умер в возрасте 85 лет.Нью-Йорк
Times (2010).
http://www.nytimes.com/2010/10/17/us/17mandelbrot.html?_r=1

Джерси, Б., и Шварц, М. Охота в скрытом измерении. (2008).
http://www.pbs.org/wgbh/nova/fractals/

Лаубендер П. «Что такое фрактал?» Фракталин (1999).
http://www.peter-laubender.de/fractaline/what_is_a_fractal.htm

Lauwerier, H.Fractals Endlessly Repeated Geometrical Figures, Принстон, Нью-Джерси.
стр. 13,15-16, 32-33, (2010).

Загадка, Л. «Вацлав Серпинский» Классические итерированные функциональные системы (2010).http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/siertri/sierbio.htm

Shapiro, B.E. Научные вычисления. стр. 344-345, 399-341) (2010).

Шпицнагель, C.R. «Julia Sets» Математические виньетки (2000).
http://www.jcu.edu/math/vignettes/Julia.htm

Красивая математика фракталов

(PhysOrg.com) — Что общего у гор, брокколи и фондового рынка? Ответ на этот вопрос лучше всего можно объяснить фракталами, ветвью геометрии, которая объясняет неправильные формы и процессы, начиная от зигзагообразной береговой линии и кончая рыночным риском Уолл-стрит.

Поскольку фрактальная геометрия относительно нова (термин был введен в употребление в 1975 году покойным Бенуа Мандельбротом), эта концепция не совсем понятна частью населения.

Кейси Доновен, один из новых получателей престижной стипендии Голдуотера за выдающиеся достижения в области естественных наук и математики, Кейси Доновен использует фракталы в своих исследованиях, чтобы понять вариации сердечных сокращений.

Доновен, родом из семейной фермы недалеко от Кремля-Гилфорда, впервые узнал о фракталах, когда учился в средней школе Гавра. В МГУ он учился у профессора математики Лукаса Гейера.

Что такое фрактал?

Фрактал — это геометрический узор, который повторяется на каждом уровне увеличения. Другой способ объяснить это — использовать собственное определение Мандельброта, согласно которому «фрактал — это геометрическая форма, которую можно разделить на части, каждая из которых представляет собой уменьшенную версию целого.«Подумайте о русских матрешках.

Фракталы обычны в природе и встречаются почти везде. Пример — брокколи. Каждая ветка брокколи выглядит так же, как родительский стебель. Поверхность слизистой оболочки легких имеет фрактальный узор, который позволяет поглощать больше кислорода. Такие сложные реальные процессы можно выразить уравнениями через фрактальную геометрию. Даже обычному человеку на фракталы приятно смотреть, даже если вы не понимаете, что такое фрактал.Но для математика это изящная предметная область.

Почему фракталы важны?

Фракталы помогают нам изучать и понимать важные научные концепции, такие как, например, способ роста бактерий, закономерности в ледяной воде (снежинки) и мозговые волны. Их формулы сделали возможным множество научных открытий. Антенны беспроводных сотовых телефонов используют фрактальный узор, чтобы лучше улавливать сигналы и улавливать более широкий диапазон сигналов, чем простая антенна.Все, что связано с ритмом или узором, может быть очень фрактальным.

Почему мы так много слышим о фракталах сейчас?

На самом деле, некоторые фракталы были поняты задолго до того, как Мандельброт ввел этот термин. Он популяризировал эту концепцию с помощью компьютерной графики и изображений фрактальных узоров в природе. Хотя множество Мандельброта и множества Жюлиа (два хорошо известных фрактала) были исследованы в начале 20-го века, они никогда не покидали математического / физического «гетто», пока не появились быстрые компьютеры и хорошая компьютерная графика, что, в свою очередь, привело к волне новых исследований и лучшего понимания.

Вспоминая отца фракталов

Дополнительная информация:
Если вы хотите узнать больше о фракталах, лучше всего начать с en.wikipedia.org/wiki/Fractal

Предоставлено
Государственный университет Монтаны

Ссылка :
Красивая математика фракталов (13 октября 2011 г.