Фракталы в природе

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон (Lewis Fry Richardson) — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона (Richardson effect).

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад).

Далее: О плакате

Примеры фракталов в природе. Что такое фрактал? Фракталы в природе

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

• Введение
• 1. Понятие фрактала
• 2. Классификация фракталов
• 4. Применение фракталов
• Заключение
• Список использованной литературы

Отношение к самоподобным математическим объектам изменилось с появлением компьютеров, когда появились первые изображения алгебраических и стохастических фракталов. Сразу после этого они заинтересовали не только математиков, но и физиков, биологов, акустиков, и всех, кто в своей работе сталкивался с природными объектами. Математиков фракталы привлекали незамысловатостью формул, которыми описываются столь сложные структуры, физиков — возможностью пересмотреть физику с новой позиции, биологов — соответствием изображений фракталов с различными биологическими объектами.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х 20-го века прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, с.5 — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. . Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, с.5 — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. . Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

1. Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

Геометрические фракталы. Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят — аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, предста­вляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых.

В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: Мир 1993,с.45 .

Французский математик Анри Пуанкаре инициировал исследования в области нелинейной динамики около 1890 года, что привело к появлению современной теории хаоса. Интерес к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, занимавшийся нелинейным мо­делированием погоды, в 1963 году обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды. Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных условий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии погоды в будущем. Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса.

Траектории частиц броуновского движения, которым занимались Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кривую — непрерывное отображение, переводящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с единицы до двойки. Граница снежинки Коха (1904 год), чья размерность d » 1,2618, — это еще одна хорошо известная кривая, повышающая размерность.

Фрактал, никоим образом не похожий на кривую, который Мандельброт назвал пылью — это классическое множество Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено, что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столько же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую «пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии. Фрактальная пыль того или иного рода появляется в многочисленных ситуациях. Фактически, она является универсальным фракталом в том смысле, что любой фрактал — аттрактор системы итерированных функций — представляет собой либо фрактальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низкой размерностью Пайтген Х.-О., Рихтер П., с. 22 .

Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев-растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кровеносной системы и др. Интересно отметить предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности-фрактала.

Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции у = /(х) и рассматривают поведение последовательности f(х), f(f(х)), f(f(f(x))),… В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением *множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений.

Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные случайные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Большинство людей, считают, что фракталы, это лишь красивые картинки, которые услаждают глаз. К счастью, это не так, и фракталы применяются во многих областях деятельности человека. Уже существует теоретическая база для создания новых направлений их применения, такие как диагностика заболеваний, прогнозирование разрушений при динамическом ударе и многие другие. Но, несмотря на теоретическую неисчерпаемость использования фракталов, можно предположить, что со временем выделятся основные направления их применения.

Подобные документы

Фрактал как множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической. Принципы и условия формирования соответствующей системы согласно исследованиям Мандельброта. Типы и значение фракталов, главные этапы их эволюции.

контрольная работа , добавлен 19.02.2015

Суть современных концепций относительности пространства и времени в специальной и общей теориях. Гиперхронологическое историческое пространство, ускорение исторического времени. Раскрытие понятий бифуркаций, фракталов, аттракторов, факторов случайности.

контрольная работа , добавлен 10.12.2009

Гуманитарный, технический, математический типы знания и естествознание в современной системе знания. Роль и значение математики и физики в познании мира. Отношение к природе в естественных и гуманитарных науках. Проблема противостояния науки и религии.

реферат , добавлен 26.11.2011

Развитие естественных наук в средние века, место и роль церкви в государстве. Построение теории строения атома на основе планетарной модели. Развитие астрономии, характеристики галактик. Теории возникновения жизни на Земле. Гипотезы происхождения рас.

контрольная работа , добавлен 14.09.2009

Гиппократ как основоположник современной клинической медицины. Заслуга ученых античности в развитии естественных наук. Содержание основных законов диалектики, применение диалектических методов исследования. Закон перехода количества в качество.

контрольная работа , добавлен 03.04.2011

Синергетика как теория самоорганизующихся систем в современном научном мире. История и логика возникновения синергетического подхода в естествознании. Влияние этого подхода на развитие науки. Методологическая значимость синергетики в современной науке.

реферат , добавлен 27.12.2016

Общая характеристика бактерий. Их строение, размножение и питание. Понятие о природных ресурсах и их характеристика. Строение и значение пищеварительной системы. Экономическая классификация природных ресурсов. Строение стенки пищеварительного канала.

контрольная работа , добавлен 09.10.2012

Тенденции развития сферы промышленности, энергетики, народного хозяйства в настоящее время. Преобразования в области науки. Последствия развития биотехнологий, разработок в естественных науках. Химические процессы и энергетика. Сохранение озонового слоя.

реферат , добавлен 18.11.2009

Применене принципа абсолютной объективности и определенности эмпирических данных в квантовой физике. Использование циркуля и линейки в евклидовой геометрии. Анализ периодической системы химических элементов Д.И. Менделеева. Свойсива точки бифуркации.

контрольная работа , добавлен 12.06.2015

Понятие о биоэлектрических явлениях. Возникновение современной мембранной теории возбуждения. Основные виды биоэлектрических потенциалов, механизм их возникновения и применение в медико-биологических лабораториях, в клинической практике при диагностике.

Математические формы, известные как фракталы, принадлежат гению выдающегося ученого Бенуа Мандельброта. Большую часть жизни он провёл в Соединенных Штатах, где преподавал математику в Йельском университете. В 1977 и 1982 годах Мандельброт опубликовал научные труды, посвященные изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися, — что и доказывает наличие некого образца для копирования. Открытие Мандельброта возымело весомые позитивные последствия в развитии физики, астрономии и биологии.

Как устроен фрактал

Фрактал (от латинского «fractus» — разбитый, дробленый, сломанный) представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.

Структура фрактала на всех шкалах является нетривиальной. Здесь нужно уточнить, что имеется в виду. Так вот, регулярные фигуры, такие как окружность, эллипс или график гладкой функции устроены таким образом, что при рассмотрении небольшого фрагмента регулярной фигуры в достаточно крупном масштабе он будет схожим с фрагментом прямой. Для фракталов же увеличение масштаба не приводит к упрощению структуры фигуры, и на всех шкалах мы видим однообразно сложную картину.

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).

Рассмотрим строение цветной капусты. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом — однако все, что мы получим — это крошечные копии цветной капусты. В этом простейшем случае даже небольшая часть фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре.

Ярким примером фрактала в природе является «Романеску», она же «романская брокколи» или «цветная коралловая капуста». Первые упоминания об этом экзотическом овоще относятся к Италии 16 века. Почки этой капусты растут по логарифмической спирали. Ей не перестают восхищаться 3D-художники, дизайнеры и кулинары. Последние, причём, особенно ценят овощ за самый утончённый вкус (сладковато-ореховый, а не сернистый оттенок), какой только может быть у капусты, и за то, что он менее рассыпчатый, чем обычная цветная капуста. Кроме того, романская брокколи богата витамином С, антиоксидантами и каротиноидами.

Фракталы в цифровой технике

Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала возможной сжатие цифровых изображений. Существующие фрактальные алгоритмы сжатия изображения основаны на принципе хранения сжимающего изображения вместо самой цифровой картинки. Для сжимающего изображения основная картинка остаётся неподвижной точкой. Фирма «Microsoft» использовала один из вариантов данного алгоритма при издании своей энциклопедии, но по тем или иным причинам широкого распространения эта идея не получила.

Принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения сведений об узлах сети «Netsukuku» использует система назначения IP-адресов. Каждый её узел хранит 4 килобайта информации о состоянии соседних узлов. Любой новый узел подключается к общей сети Интернет, не требуя центрального регулирования раздачи IP-адресов. Можно сделать вывод, что принцип фрактального сжатия информации обеспечивает децентрализованную работу всей сети, а потому работа в ней протекает максимально устойчиво.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике — при построении изображений деревьев, кустов, поверхности морей, горных ландшафтов, и других природных объектов. Благодаря фрактальной графике был изобретён эффективный способ реализации сложных неевклидовых объектов, чьи образы похожи на природные: это алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющие воспроизвести копию любой картинки максимально близко к оригиналу. Интересно, что кроме фрактальной «живописи» существуют так же фрактальная музыка и фрактальная анимация. В изобразительном искусстве существует направление, занимающееся получением изображения случайного фрактала — «фрактальная монотипия» или «стохатипия».

В математической основе фрактальной графики лежит фрактальная геометрия, где в основу методов построения «изображений-наследников» помещён принцип наследования от исходных «объектов-родителей». Сами понятия фрактальной геометрии и фрактальной графики появилось всего около 30 лет назад, но уже прочно вошли в обиход компьютерных дизайнеров и математиков.

Базовыми понятиями фрактальной компьютерной графики являются:

• Фрактальный треугольник — фрактальная фигура — фрактальный объект (иерархия в порядке убывания)
• Фрактальная прямая
• Фрактальная композиция
• «Объект-родитель» и «Объект наследник»

Также как в векторной и трёхмерной графике, создание фрактальных изображений математически вычисляемо. Главное отличие от первых двух видов графики в том, что фрактальное изображение строится по уравнению или системе уравнений, — ничего кроме формулы в памяти компьютера для выполнения всех вычислений хранить не нужно, — и такая компактность математического аппарата позволила использование этой идеи в компьютерной графике. Просто изменяя коэффициенты уравнения, можно с лёгкостью получить совершенно иное фрактальное изображение — при помощи нескольких математических коэффициентов задаются поверхности и линии очень сложной формы, что позволяет реализовать такие приёмы композиции, как горизонтали и вертикали, симметрию и асимметрию, диагональные направления и многое другое.

Как построить фрактал?

Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно. Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?

• задать форму рисунка математической формулой
• исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры
• выбрать вид изображения
• выбрать палитру цветов

Рассмотрим устройство произвольной фрактальной геометрической фигуры. В её центре находится простейший элемент — равносторонний треугольник, получивший одноимённое название: «фрактальный». На среднем отрезке сторон построим равносторонние треугольники со стороной, равной одной трети от стороны исходного фрактального треугольника. По тому же принципу строятся ещё более мелкие треугольники-наследники второго поколения — и так до бесконечности. Объект, который в результате получился, называется «фрактальной фигурой», из последовательностей которой получаем «фрактальную композицию».

Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:

«Art Dabbler»
«Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)
«Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Тема
:
Фракталы
—
особые
объекты
живого
и
неживого
мира

Хабаровск ТОГУ 2015

• Оглавление
• фрактал геометрический фрактальный графика
• История фракталов
• Классификация фракталов
• Геометрические фракталы
• Алгебраические фракталы
• Применение фракталов
• Фракталы и мир вокруг нас
• Фрактальная графика
• Применение фракталов
• Естественные науки
• Радиотехника
• Информатика
• Экономика и финансы

Очень часто мы встречаемся с особыми объектами, но мало кто знает, что это и есть фракталы. Фракталы — уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира. Они встречаются как в малых объектах, например, клеточная мембрана, и огромных, таких как Солнечная система и Галактика. В повседневной жизни мы можем увидеть фракталы на рисунке обоев, на ткани, заставке рабочего стола на компьютере, а в природе — это растения, морские животные, природные явления.

Термин фрактал был предложен в 1975г. Бенуа Мандельбротом для обозначения нерегулярных, самоподобных структур, которыми он занимался. Рождением фрактальной геометрии является выход его книги “The Fractal Geometry of Nature” в 1977г. Его работы базировались на трудах ученых Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантора и Хаусдорфа, работавших в 1875 ? 1925 годах в этой же области. Но удалось объединить их работы в единую систему только в наше время.

Бенуа Мандельброт в своих работах привел яркие примеры применения фракталов для объяснения некоторых природных явлений. Он уделил большое внимание интересному свойству, которым обладают многие фракталы. Дело в том, что часто фрактал можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая часть окажется просто уменьшенной копией целого. Иначе говоря, если мы будем смотреть на фрактал в микроскоп, то с удивлением увидим ту же самую картину, что и без микроскопа. Это свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Для современных учёных изучение фракталов? не просто новая область познания. Это открытие нового типа геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе, и в безграничной Вселенной. В настоящее время Мандельброт и другие учёные расширили область фрактальной геометрии так, что она может быть применима практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных бумаг до совершения новых открытий в теоретической физике.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков данной ломаной (инициатора) заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается фрактальная кривая. Несмотря на кажущуюся сложность этой кривой, её форма определяется лишь формой генератора.

Построение некоторых геометрических фракталов

1). Кривая Коха.

Она была изобретена в 1904 году немецким математиком по имени Хельге фон Кох. Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.

2). Салфетка Серпинского.

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект. Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д. По теории конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется — получится объект, состоящий из одних только дырок.

3). Дракон Хартера-Хэйтуэя.

Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера-Хейтуэя, впервые исследовали физикии NASA ? Джон Хейтуэй, Вильям Хартер и Брюс Бенкс. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American».

Каждый из отрезков прямой на следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого исходный отрезок являлся бы гипотенузой. В результате отрезок как бы прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо (по ходу движения слева направо), второй — влево, третий — опять вправо и т.д.

Примеры геометрических фракталов

Кривая
Коха
Салфетка
Серпинского

Дракон
Хартера-Хэйтуэя

Вторая большая группа фракталов — алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул.

Сложные (алгебраические) фракталы невозможно создать без помощи компьютера. Для получения красочных результатов этот компьютер должен обладать мощным математическим сопроцессором и монитором с высоким разрешением. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал.

1).
Теория хаоса: фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Хаос — это отсутствие предсказуемости. Он возникает в динамических системах, когда для двух очень близких начальных значений система ведет себя совершенно по-разному. Пример хаотичной динамической системы — погода. Примерами подобных систем являются турбулентные потоки, биологические популяции, общество и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Одной из центральных концепций в этой теории является невозможность точного предсказания состояния системы. Теория хаоса сосредотачивает внимание не на беспорядке системы (наследственной непредсказуемости системы), а на унаследованном ей порядке (общем в поведении похожих систем). Таким образом, наука о хаосе — это система представлений о различных формах порядка, где случайность становится организующим принципом.

8).
Фрактальные антенны: использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Он вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

9).
Сжатие изображений: достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений — очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

10).
Компьютерная графика: компьютерная графика переживает сегодня период интенсивного развития. Она оказалась способна воссоздать на экране монитора бесконечное разнообразие фрактальных форм и пейзажей, погружая зрителя в удивительное виртуальное пространство. В настоящие время при помощи сравнительно простых алгоритмов появилась возможность создавать трёхмерные изображения фантастических ландшафтов и форм, которые способны преобразовываться во времени в ещё более захватывающие картины. Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами (например, фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder). Фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности.

«
Красота всегда относительна…Не следует полагать, что берега океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать неправильной на основании того, что они не являются правильными конусами или пирамидами; из того, что расстояния между звёздами неодинаковы, ещё не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти неправильности существуют только в нашем воображении,
на самом деле они таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на Земле, ни в царстве растений и животных, ни среди людей». Эти слова английского учёного XVII в. Ричарда Бентли свидетельствуют о том, что идея объединить формы берегов, гор и небесных объектов и противопоставить их евклидовым построениям возникла в умах людей уже очень давно.

То, что мы наблюдаем в природе, часто интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Причудливые формы береговых линий и замысловатые изгибы рек, изломанные поверхности горных хребтов и очертания облаков, раскидистые ветви деревьев и коралловые рифы, робкое мерцание свечи и вспененные потоки горных рек — все это фракталы. Одни из них, типа облаков или бурных потоков, постоянно меняют свои очертания, другие, подобно деревьям или горным массивам, сохраняют свою структуру неизменной. Общим для всех типов фрактальных структур является их самоподобие — основное свойство, обеспечивающее выполнение во фракталах основного закона — закона единства в многообразии мироздания.

Фрактальными структурами также являются системы и органы человека. Так, например, кровеносные сосуды многократно разветвляются, т.е. имеют фрактальную природу. Электрическая активность сердца — фрактальный процесс. Кардиологи обнаружили, что спектральные характеристики сердечных сокращений подчиняются фрактальным законам, как землетрясения и экономические феномены. В тканях пищеварительного тракта одна волнистая поверхность встроена в другую. Легкие также представляют пример того, как большая площадь «втиснута» в маленькое пространство. В действительности, вся структура человеческого тела имеет фрактальную природу; это уже признано учеными. Принцип единого простого, задающего разнообразное сложное, заложен в геноме человека, когда одна клетка живого организма содержит информацию обо всем организме в целом.

Фрактальные структуры в природе

Приведем несколько образцов фото:

Как сказал биолог Джон Холдейн, “мир устроен не только причудливей, чем мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать”. Фракталы — не изобретения Мандельброта. Они существуют объективно. В природных формах и процессах, в науке и искусстве, которые этот мир отображают и познают. Именно “за изменение нашего взгляда на мир благодаря идеям фрактальной геометрии” Бенуа Мандельброту в 1993 году была присуждена почётная премия Вольфа в области физики.

В настоящее время большой популярностью пользуются фрактальные картины. Они производят совершенно фантастическое впечатление. Множество тонких линий, образующих одно целое, или же необычные элементы, сплетающиеся в единую картину. Вспышки яркого света и умеренные сглаженные линии. Фрактал кажется живым. Он горит, пылает, он завлекает, и Вы не можете отвести от него глаз, изучая даже самые крохотные и незначительные детали.

Фрактальные картины в интерьере

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.

Децентрализованные
сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku (эта сеть является проектом создания распределённой самоорганизующейся одноранговой сети, способной обеспечить взаимодействие огромного количества узлов при минимальной нагрузке на центральный процессор и память) использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Экономика и финансы

А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс.

Всякий раз, рассматривая фракталы, задумываешься, как прекрасен реальный мир и мир математики, и о том, что математика действительно является языком, который способен описать практически всё, что существует во Вселенной.

Библиографический список

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: “Институт компьютерных исследований”, 2002. 656 с.

2. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г. 140 с.

3. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М.: “Мир”, 1993. — 176 с.

4. Тихоплав В.Ю., Тихоплав Т.С. Гармония хаоса, или фрактальная реальность. С.-Петербург: ИД “Весь”, 2003. 340 с.

5. Федер Е. Фракталы. М: “Мир”, 1991. 254 с.

6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: “РХД”, 2001. 528 с.

Список сайтов о фракталах

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Рассмотрение фрактальной размерности как одной из характеристик инженерной поверхности. Описание природных фракталов. Измерение длины негладкой (изломанной) линии. Подобие и скейлинг, самоподобие и самоаффинность. Соотношение «периметр-площадь».

контрольная работа , добавлен 23.12.2015

История появления теории фракталов. Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом. Практическое применение теории фракталов.

научная работа , добавлен 12.05.2010

Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.

курсовая работа , добавлен 26.05.2006

Признаки некоторых четырехугольников. Реализация моделей геометрических ситуаций в средах динамической геометрии. Особенности динамической среды «Живая геометрия», особенности построения в ней моделей параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата.

курсовая работа , добавлен 28.05.2013

Геометрическая картина мира и предпосылки возникновения теории фракталов. Элементы детерминированной L-системы: алфавит, слово инициализации и набор порождающих правил. Фрактальные свойства социальных процессов: синергетика и хаотическая динамика.

курсовая работа , добавлен 22.03.2014

Изучение проявлений геометрических законов в живой природе и использования их в образовательной практической деятельности. Описание геометрических законов и сущность геометрических построений. Графическое образование и его место в современном мире.

дипломная работа , добавлен 24.06.2010

Определение понятия модели, необходимость их применения в науке и повседневной жизни. Характеристика методов материального и идеального моделирования. Классификация математических моделей (детерминированные, стохастические), этапы процесса их построения.

реферат , добавлен 20.08.2015

Исследование понятия симметрии, соразмерности, пропорциональности и одинаковости в расположении частей. Характеристика симметрических свойств геометрических фигур. Описания роли симметрии в архитектуре, природе и технике, в решении логических задач.

презентация , добавлен 06.12.2011

История математизации науки. Основные методы математизации. Пределы и проблемы математизации. Проблемы применения математических методов в различных науках связаны с самой математикой (математическое изучение моделей), с областью моделирования.

реферат , добавлен 24.05.2005

Понятие и история исследования золотого сечения. Особенности его отражения в математике, природе, архитектуре и живописи. Порядок и принципы построения, структура и сферы практического применения золотого сечения, математическое обоснование и значение.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Фракталы — потрясающая красота математики в природе

Природа так загадочна, что чем больше изучаешь ее, тем больше вопросов появляется… Ночные молнии — синие «струи» ветвящихся разрядов, морозные узоры на окне, снежинки, горы, облака, кора дерева — все это выходит за рамки привычной евклидовой геометрии. Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. И здесь нам приходят на помощь фракталы.

Фрактал — это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия. То есть она составлена из нескольких частей, каждая из которых повторяет всю фигуру целиком. По определению Википедии фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Можно до бесконечности приводить примеры фрактальных объектов в природе, — это и облака, и хлопья снега, и горы, и вспышка молнии, и наконец, цветная капуста.

Фрактал как природный объект — это вечное непрерывное движение, новое становление и развитие.

Фракталы встречаются всюду: в продуктах питания, в бактериях, в растениях, в животных, в горах, в небе и в воде.

Как был открыт фрактал

Математические формы, известные как фракталы, принадлежат гению выдающегося ученого Бенуа Мандельброта. Большую часть жизни он преподавал математику в Йельском университете США. В 1977 — 1982 годах Мандельброт опубликовал научные труды, посвященные изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися, — что и доказывало наличие некого образца для копирования. Открытие Мандельброта возымело весомые последствия в развитии физики, астрономии и биологии.

Фракталы в природе

геометрический фигура фрактальный природный

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).

Рассмотрим строение цветной капусты. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом — однако все, что мы получим — это крошечные копии цветной капусты. В этом простейшем случае даже небольшая часть фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре.

Фракталы и древние мандалы

Например, мандала для привлечения денег. Утверджают, что красный цвет работает как денежный магнит. А витиеватые узоры вам ничего не напоминают? Мне они показались очень знакомыми и я занялась исследованием мандал в качестве фрактала.

В принципе, мандала — это геометрический символ сложной структуры, который интерпретируется как модель Вселенной, «карта космоса». Вот и первый признак фрактальности!

Их вышивают на ткани, рисуют на песке, выполняют цветными порошками и делают из металла, камня, дерева. Яркий и завораживающий вид, делает её красивым украшением полов, стен и потолков храмов в Индии. На древнем индийском языке «мандала» обозначает мистический круг взаимосвязи духовных и материальных энергий Вселенной или по-другому цветок жизни.

Мне хотелось написать обзор о фрактальных мандалах совсем небольшим, с минимумом абзацев, показав, что взаимосвязь явно существует. Однако, пытаясь найти осознать и связать информацию о фракталах и мандалах в единое целое, у меня было ощущение квантового скачка в неизвестное мне пространство.

Демонстрирую необъятность этой темы цитатой: ”Такие фрактальные композиции или мандалы могут использоваться как в виде картин, элементов дизайна жилого и рабочего помещения, носимых амулетов, в форме видеокассет, компьютерных программ…” В общем, тема для исследования фракталов просто огромнейшая.

Одно я могу сказать точно, мир гораздо разнообразнее и богаче, чем убогие представления нашего ума о нем.

Фрактальные морские животные

Мои догадки о фрактальных морских животных были не беспочвенны. Вот и первые представители. Осьминог — морское придонное животное из отряда головоногих.

Взглянув на его фотографию, мне стало очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах этого животного. Присосок на щупальцах взрослого осьминога достигает до 2000.

Интересен то факт, что у осьминога три сердца: одно (главное) гонит голубую кровь по всему телу, а два других — жаберных — проталкивают кровь через жабры. Некоторые виды этих глубоководных фракталов ядовиты.

Приспосабливаясь и маскируясь под окружающую среду, осьминог обладает весьма полезной способностью изменять окраску.

Осьминогов считают самыми «умными» среди всех беспозвоночных. Узнают людей, привыкают к тем, кто их кормит. Интересно было бы посмотреть на осьминогов, которые легко поддаются дрессировке, имеют хорошую память и даже различают геометрические фигуры. Но век этих фрактальных животных недолог — максимум 4 года.

Человек использует чернила этого живого фрактала и других головоногих. Они пользуются спросом у художников за их стойкость и красивый коричневый тон. В средиземноморской кухне осьминог является источником витаминов B3, B12, калия, фосфора и селена. Но я думаю, что этих морских фракталов нужно уметь готовить, чтобы получать удовольствие от их употребления в виде пищи.

Кстати, нужно заметить, что осьминоги — хищники. Своими фрактальными щупальцами они удерживают жертву в виде моллюсков, ракообразных и рыбы. Жаль, если пищей этих морских фракталов становится вот такой красивый моллюск. По-моему, тоже типичный представитель фракталов морского царства.

Также к примеру,родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк, он же Глаукус, он же Glaucus atlanticus, он же Glaucilla marginata. Это фрактал еще и необычен тем, что живет и передвигается под поверхностью воды, удерживаясь за счет поверхностного натяжения. Т.к. моллюск является гермафродитом, то после спаривания оба «партнера» откладывают яйца. Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса.

Фракталы морского царства

Каждый из нас хотя бы раз в жизни держал в руках и с неподдельным детским интересом рассматривал морскую раковину.

Обычно раковины являются красивым сувениром, напоминающим о поездке на море. Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе.

Мы, люди, чем-то напоминаем этих мягкотелых моллюсков, обитая в благоустроенных бетонных домах-фракталах, помещая и перемещая свое тело в быстрых автомобилях.

Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.

В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков.

Коралл — это материал скелета колонии коралловых полипов, тоже из семейства беспозвоночных. Их огромные скопления образуют целые коралловые рифы, фрактальный способ образования которых очевиден.

Коралл с полной уверенностью можно назвать фракталом из морского царства.

Он также используется человеком в виде сувенира или сырья для ювелирных изделий и украшений. Но повторить красоту и совершенство фрактальной природы очень сложно.

Почему-то не сомневаюсь, что в подводном мире также отыщется и множество фрактальных животных.

Фракталы в народном творчестве

Мое внимание привлекла история всемирно известной игрушки «Матрешка». Присмотревшись внимательней, с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир — типичный фрактал.

Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.

Мои небольшие исследования истории появления этого игрушечного фрактала на мировом рынке показали, что корни у этой красавицы — японские. Матрешка всегда считалась исконно русским сувениром. Но оказалось, что она прототип японской фигурки старика-мудреца Фукурума, привезенного когда-то в Москву из Японии.

Но именно российский игрушечный промысел принес этой японской фигурке мировую славу. Откуда возникла идея фрактальной вложенности игрушки, лично для меня, так и осталось загадкой. Скорей всего автор этой игрушки использовал принцип вложенности фигурок друг в друга. А самый простой способ вложения — это подобные фигурки разных размеров, а это уже — фрактал.

Не менее интересный объект исследования представляет собой роспись игрушки-фрактала. Это декоративная роспись — хохлома. Традиционные элементы хохломы — это травяные узоры из цветов, ягод и веток.

Снова все признаки фрактальности. Ведь один и тот же элемент можно повторять несколько раз в разных вариантах и пропорциях. В итоге получается народная фрактальная роспись.

И если новомодной росписью компьютерных мышек, крышек ноутбуков и телефонов никого уже не удивишь, то фрактальный тюнинг автомобиля в народном стиле — это что-то новое в автодизайне. Остается только удивляться проявлению мира фракталов в нашей жизни таким необычным образом в таких обычных для нас вещах.

Фракталы на кухне

Каждый раз, разбирая цветную капусту на небольшие соцветия для бланширования в кипящей воде, я ни разу не обращала внимания на явные признаки фрактальности, пока у меня в руках не оказался этот экземпляр.

Типичный представитель фрактала из растительного мира красовался на моем кухонном столе.

При всей моей любви к цветной капусте мне все время попадались экземпляры с однородной поверхностью без видимых признаков фрактальности, и даже большое число соцветий, вложенных друг в друга, не давали мне повода увидеть в этом полезном овоще фрактал.

Но поверхность именно этого экземпляра с явно выраженной фрактальной геометрией не оставляла ни малейшего сомнения во фрактальном происхождении этого вида капусты.

Очередной поход в гипермаркет только подтвердил фрактальный статус капусты. Среди огромного числа экзотических овощей красовался целый ящик с фракталами. Это была Романеску, или романская брокколи, цветная коралловая капуста.

Оказывается, дизайнеры и 3D-художники восторгаются ее экзотическими формами, похожими на фракталы.

Капустные почки нарастают по логарифмической спирали. Первые упоминания о капусте романеску пришли из Италии 16-го века.

А капуста броколли совсем не частая гостья в моем рационе, хотя по содержанию полезных веществ и микроэлементов она превосходит цветную капусту в разы. Но ее поверхность и форма настолько однородны, что мне никогда не приходило в голову увидеть в ней овощной фрактал.

Размещено на Allbest.ru

…

Подобные документы

Определение основных свойств выпуклых фигур. Описание традиционного решения изопериметрической задачи. Приведение примеров задач на поиск точек экстремума. Формулирование и доказательство теоремы о пятиугольнике наибольшего периметра единичного диаметра.

дипломная работа , добавлен 30.03.2011

Исследование понятия симметрии, соразмерности, пропорциональности и одинаковости в расположении частей. Характеристика симметрических свойств геометрических фигур. Описания роли симметрии в архитектуре, природе и технике, в решении логических задач.

презентация , добавлен 06.12.2011

Рассмотрение фрактальной размерности как одной из характеристик инженерной поверхности. Описание природных фракталов. Измерение длины негладкой (изломанной) линии. Подобие и скейлинг, самоподобие и самоаффинность. Соотношение «периметр-площадь».

контрольная работа , добавлен 23.12.2015

Основные условия симметричности фигуры. Примеры геометрических фигур, обладающих центральной симметрией. Центральная симметрия плодов растений и некоторых цветов, живых существ. Центральная симметрия в транспорте. Анализ аксиом стереометрии и планиметрии.

презентация , добавлен 30.10.2013

Изучение проявлений геометрических законов в живой природе и использования их в образовательной практической деятельности. Описание геометрических законов и сущность геометрических построений. Графическое образование и его место в современном мире.

дипломная работа , добавлен 24.06.2010

Особенности использования метода секущих плоскостей для создания проекции и разветки пересечения поверхностей фигур. Порядок построения изометрии взаимного пересечения поверхностей фигур. Характеристика процесса создания фигуры с вырезом, опоры и стойки.

реферат , добавлен 27.07.2010

Основные виды симметрии (центральная и осевая). Прямая в качестве оси симметрии фигуры. Примеры фигур, обладающих осевой симметрией. Симметричность относительно точки. Точка как центр симметрии фигуры. Примеры фигур, обладающих центральной симметрией.

презентация , добавлен 30.10.2014

Цепочка теорем, которая охватывает весь курс геометрии. Средняя линия фигур как отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Свойства средних линий. Построение различных планиметрических и стереометрических фигур, рациональное решение задач.

научная работа , добавлен 29.01.2010

Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.

курсовая работа , добавлен 13.08.2011

Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.

Назад
Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Авторы:

Бекбулатова Алина,
Гетьманова Софья

Руководители:
Могутова Татьяна Михайловна,
Дерюшкина Оксана Валерьевна

Введение
.

Теоретическая часть проекта:

• История развития фрактальной геометрии.
• Понятие фрактала.
• Виды фракталов:

а) геометрические фракталы, примеры геометрических фракталов;
б) алгебраические фракталы, примеры алгебраических фракталов;
в) стохастические фракталы, примеры.

• Природные фракталы.
• Практическое применение фракталов:
• в литературе;
• в телекоммуникации;
• в медицине;
• в архитектуре;
• в дизайне;
• в экономике;
• в играх, кино, музыке
• в естественных науках
• в физике;
• в биологии
• фракталы для домохозяек
• современные картины – фрактальная графика.
• Фрактальная графика.
• Роль фрактальной геометрии в жизни – гимн фракталам!

Практическая часть работы над проектом

• Создание научной работы «Путешествие в мир фракталов»
• Размещение в сети Интернет.
• Участие в олимпиадах, конкурсах.
• Создание собственных фракталов.
• Создание брошюры «Удивительный мир фракталов»
• Проведение фестиваля «Удивительный мир фракталов.

Введение

Геометрию часто называют холодной и сухой. Одна из причин заключается в ее неспособности описать все то, что окружает нас: форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — не конусы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. С огромной для нас радостью мы узнали, что в современном мире существует новая геометрия – геометрия фракталов.

Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии, во всех областях нашей жизни.

Актуальность проекта:

• Роль фракталов в современном мире достаточно велика
• Убедительных аргументов в пользу актуальности изучения фракталов является широта области их применения

Гипотеза исследования:

Фрактальная геометрия – современная, очень интересная область человеческого познания. Появление фрактальной геометрии есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания мира.

Цель проекта:

Изучить теорию фракталов для создания научной работы «Удивительный мир фракталов» и разработки и реализации на компьютере алгоритмов рисования фракталов на плоскости.

Задачи проекта:

• Познакомиться с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
• Изучить виды фракталов, их применение в современном мире.
• Выполнить программы создания фракталов на языках программирования Pascal и Logo
• Создать научную работу о фракталах, опубликовать ее в сети Интернет.
• Создать брошюру «Удивительный мир фракталов»
• Провести фестиваль «Удивительный мир фракталов» с целью ознакомления с результатами нашей работы учащихся школы.

Над проектом мы работали в течении 4 месяцев.

Основные этапы нашей работы:

• Сбор необходимой информации: использование сети Интернет, книг, публикаций по данной теме. (2 недели)
• Сортировка информации по темам: систематизация и определение порядка написания работы. Работа заняла 2 недели.
• Составление текстовой работы: написание текста, частичное оформление систематизированной информации. Заняло один месяц.
• Создание презентации: сжатие систематизированных сведений, определение структуры презентации, её создание и оформление и проходило в течении месяца.
• Изучение программы создания фракталов и создание собственных фракталов на языках программирования Pascal и Logo (до сегодняшнего дня)

Теоретическая часть проекта

Мы изучили историю создания фрактальной геометрии.

Интерес к фрактальным объектам возродился в середине 70-х годов 20 века.

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Так что же такое фрактал?

Фрактал —
геометрическая фигура, составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.
Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которое в более крупном масштабе подобно себе.

Фракталы делятся на геометрические, геометрические и стохастические.

Геометрические фракталы по-другому называют классическими. Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Это значит, что, независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.

Приведем самые известные примеры геометрических фракталов.

Снежинка Коха.

Изобретена в 1904 годнемецким математиком Хельге фон Кохом.

Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.

Пятиугольник Дюрера.

Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.

Салфетка Серпинского.

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект.

Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д.

Кривая Дракона.

Изобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Ковер Серпинского.

Берется квадрат, разбивается на девять равных квадратов, средний из которых выбрасывается, а с остальными повторяется та же операция до бесконечности.

Второй вид фракталов – алгебраические фракталы.

Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал.

Примеры самых известных алгебраических фракталов.

Множество Мандельброта
.

Множества Мандельброта наиболее распространенный среди алгебраических фракталов. Его можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями.

Множество Жулиа
.

Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа. Не менее известный алгебраический фрактал.

Бассейны Ньютона.

Стохастические фракталы.

Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастичными. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

При этом получаются объекты очень похожие на природные — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза. Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия.
Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма».

Наиболее понятны для нас так называемые природные фракталы.

«Великая книга Природы написана на языке геометрии» (Галилео Галилей).

Природные фракталы
.

• В живой природе:
  
• Морские звезды и ежи
• Цветы и растения (брокколи , капуста)
• Кроны деревьев и листья растений
• Плоды (ананас)
• Кровеносная система и бронхи людей и животных
• В неживой природе:
  
• Границы географических объектов (стран, областей, городов)
• Морозные узоры на оконных стёклах
• Сталактиты , сталагмиты , геликтиты .

Почти все природные образования: кроны деревьев, облака, горы, береговые линии имеют фрактальную структуру.
Что это значит?

Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части, то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково.

Морские фракталы.

Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих.

Фрактальное строение имеют его тела и присоски на всех восьми щупальцах этого животного.

Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.

В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов.

Зеленый фрактал – листья папоротника.

Листья папоротника имеют форму фрактальной фигуры — они самоподобны.

Лук – фрактал, который заставляет плакать.
Конечно, фрактал он незамысловатый: обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивный фрактал.

Ярким примером фрактала в природе является «Романеску
», она же «романская брокколи» или «цветная коралловая капуста».

Цветная капуста
— типичный фрактал.

Рассмотрим строение цветной капусты.

Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом — однако все, что мы получим — это крошечные копии цветной капусты.

Матрешка — игрушка-сувенир
— типичный фрактал. Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.

Человек – это фрактал.

Рождается ребенок, растет, и этот процесс сопровождается принципом «самоподобия», фрактальностью.

Широка область применения фракталов.

Фракталы в литературе

Среди литературных произведений есть такие, которые обладают текстуальной, структурной или фрактальной природой. В литературных фракталах бесконечно повторяются элементы текста:

У попа была собака,
он ее любил.
Она съела кусок мяса,
он ее убил.
В землю закопал,
Надпись написал:
У попа была собака…

«Вот дом.
Который построил Джек.
А вот пшеница.

В доме,
Который построил Джек
А вот весёлая птица-синица,
Которая ловко ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек…».

Фракталы в телекоммуникации
.

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

Фракталы в медицине
.

В данное время фракталы находят широкое применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фрактальных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи, бронхиальные пути в легких, артерии.

Теория фракталов применятся для анализа электрокардиограмм.

Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца.

Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику!!

Еще одна область активного применения фракталов – гастроэнтерология.

Новый метод исследования в медицине, электрогастроэнтерография — метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.

Фракталы в архитектуре.

Фрактальный принцип развития природных и геометрических объектов проникает вглубь архитектуры и как образ внешнего решения объекта, и как внутренний принцип архитектурного формообразования.

Дизайнеры со всего мира начали
использовать в своих работах замечательные фрактальные структуры, только недавно описанные видными математиками.

Использование фракталов поставило практически все направления современного дизайна на новый уровень.

Привнесение фрактальных структур увеличило во многих случаях как визуальную, так и функциональную составляющие дизайна.

Дизайнер Такеси Миякава в детстве мечтал стать математиком.

Иначе как объяснить этот предмет мебели: тумбочка Fractal 23 содержит 23 ящика самых разных размеров и пропорций, которые как-то ухитряются уживаться между собой внутри кубического корпуса, заполняя почти всё доступное им пространства.

Фракталы в экономике.

Последнее время фракталы стали популярны у экономистов для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.
Фракталы появляются на рынке достаточно часто.

Фракталы в играх.

Сегодня в очень многих играх (пожалуй самый яркий пример Minecraft),
где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы. Создано большое количество программ для генерации ландшафтов и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.

Фракталы в кино
.

В кино для создания различных фантастических пейзажей используется фрактальный алгоритм. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спецэфффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это действительное потрясающее зрелище.

Электронная музыка
.

Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют виджеи. Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки.

Естественные науки
.

Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий.

Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.

Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для изучения распространение волн и колебаний в упругих средах, для исследования климата и многих других вещей.

Фракталы в физике
.

В физике фракталы применяются очень широко. В физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.
Пример твёрдого тела — кристаллы.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы.

Переход к фрактальному представлению облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем.
При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Фракталы в биологии
.

В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Фракталы для домохозяек.

Легкоперенести теорию фракталов в домашние условия, в том числе и на кухню.

Результатом применения может быть что угодно: фрактальные сережки, фрактальное вкусное печень и многое другое. Нужно подключить только знания и смекалку!

Широко используются в современном мире фрактальная графика. Пользуются популярностью картины — результат фрактальной графики.

И это не случайно. Полюбуйтесь красотой фрактальной графики!

Практическая часть проекта

• Создали научную работу «Путешествие в мир фракталов»
• Изучили программы создания фракталов на языках программирования Pascal и Logo
• Создали собственные фракталы.
• Сделали своими руками «Салфетку Серпинского» и «Ковер Серпинского»
• Сделали «Фрактальные сережки»
• Создали цикл картин «Чудеса фрактальной графики»
• Опубликовали работу «Путешествие в мир фракталов « в сети Интернет.
• Приняли участие с работой « Путешествие в мир фракталов» в VII Всероссийской олимпиаде школьников и студентов «Наука 2.0» по учебному предмету «Математика». Заняли первое место.
• Приняли участие с работой «Путешествие в мир фракталов» во Всероссийском конкурсе «Великие открытия и изобретения». Заняли первое место.
• Приняли участие с работой «Путешествие в мир фракталов» в VIII Всероссийской олимпиаде школьников и студентов «Я – исследователь» по учебному предмету Математика. Заняли первое место.
• Создали презентацию « Удивительный мир фракталов»
• Создали брошюры «Применение фракталов» и «Фракталы вокруг нас»
• Провели фестиваль «Удивительный мир фракталов» для учащихся 8-11 классов»

Итак, можно с полной уверенностью сказать об огромном практическом применении фракталов и фрактальных алгоритмов на сегодняшний день.

Спектр областей, где применяются фракталы, очень обширен и разнообразен.

И наверняка, в ближайшем будущем, фракталы, фрактальная геометрия, станут близки и понятны каждому из нас. Мы не сможем обходиться без них в нашей жизни!

Будем надеяться, что появление фрактальной геометрии есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания и осознания мира. Возможно, наши дети будут также легко и осмысленно оперировать понятиями фракталов и нелинейной динамики, как мы оперируем понятиями классической физики, эвклидовой геометрии.

Результаты работы над проектом

• Познакомились с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
• Изучили виды фракталов, их применение в современном мире.
• Создали собственные фракталы на языках программирования Pascal и Logo
• Создали научную работу о фракталах.
• Создали брошюры «Фракталы вокруг нас» и «Применение фракталов»
• Провели фестиваль «Удивительный мир фракталов» для учащихся 8-11 классов.

Примеры фракталов в природе. Разнообразный мир фракталов. Фракталы: музыкальная пауза

Природа — совершенное творение, убеждаются учёные, которые открывают в строении человеческого тела пропорции золотого сечения, а в головке цветной капусты — фрактальные фигуры.

«Изучение и наблюдение природы породило науку», — писал Цицерон в первом столетии до нашей эры. В более поздние времена с развитием науки и отдалением её от изучения природы, учёные с удивлением открывают то, что было известно ещё нашим предкам, но не было подтверждено научными методами.

Интересно находить схожие образования в микро- и макромире, вдохновлять может и то, что геометрию этих образований наука может описать. Кровеносная система, река, молния, ветки деревьев… всё это — схожие системы, состоящие из разных частиц и различные по масштабу.

Пропорции «золотого сечения»

Ещё древние греки, а, возможно, и египтяне, знали пропорцию «золотого сечения». Лука Пачоли, математик эпохи Возрождения, назвал это соотношение «божественной пропорцией». Позже учёные обнаружили, что золотое сечение, которое так приятно глазу человека и которое часто встречается в классической архитектуре, искусстве и даже поэзии, можно повсеместно найти и в природе.

Пропорция золотого сечения — это деление отрезка на две неравные части, в котором короткая часть так относится к длинной, как длинная ко всему отрезку. Отношение длинной части ко всему отрезку — это бесконечное число, иррациональная дробь 0,618…, отношение короткой — соответственно 0,382…

Если построить прямоугольник со сторонами, соотношение которых будет равно пропорции «золотого сечения», и вписать в него ещё один «золотой прямоугольник», в тот — ещё один, и так до бесконечности внутрь и наружу, то по угловым точкам прямоугольников можно провести спираль. Интересно то, что такая спираль совпадёт со срезом раковины наутилуса, а также другими встречающимися в природе спиралями.

Иллюстрация: Homk/wikipedia.org

Окаменелость Наутилуса.

Фото: Studio-Annika/Photos.com

Раковина Наутилуса.

Фото: Chris 73/en.wikipedia.org

Пропорция золотого сечения воспринимается человеческим глазом как красивая, гармоничная. А ещё пропорция 0,618… равняется отношению предыдущего к последующему числу в ряде Фибоначчи. Числа ряда Фибоначчи повсеместно проявляются в природе: это спираль, по которой веточки растений примыкают к стеблю, спираль, по которой вырастают чешуйки на шишке или зёрна на подсолнухе. Что интересно, количество рядов, закручивающихся против часовой стрелки и по часовой стрелке, — это соседние числа в ряде Фибоначчи.

Спирально закручивается головка капусты брокколи и бараний рог… Да и в самом человеческом теле, разумеется, здоровом и нормальных пропорций, встречаются соотношения золотого сечения.

Витрувианский человек. Рисунок Леонардо да Винчи.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — числа ряда Фибоначчи, в котором каждый последующий член получаем из суммы двух предыдущих. Далёкие спиральные галлактики, которые засняли спутники, также закручиваются по спиралям Фибоначчи.

Спиральная галлактика.

Фото: NASA

Три тропических циклона.

Фото: NASA

Двойной спиралью закручена молекула ДНК.

Закрученная спиралью ДНК человека.

Иллюстрация: Zephyris/en.wikipedia.org

Ураган закручивается по спирали, спирально плетёт свою паутину паук.

Паутина паука-крестовика.

Фото: Vincent de Groot/videgro.net

«Золотую пропорцию» можно увидеть и в строении тела бабочки, в отношении грудной и брюшной частей её тельца, а также у стрекозы. Да и большинство яиц вписывается если не в прямоугольник золотого сечения, то в производный от него.

Иллюстрация: Adolphe Millot

Фракталы

Другими интересными фигурами, которые мы можем повсеместно увидеть в природе, являются фракталы. Фракталы — это фигуры, составленные из частей, каждая из которых подобна целой фигуре — не напоминает ли это принцип золотого сечения?

Деревья, молния, бронхи и кровеносная система человека имеют фрактальную форму, идеальными природными иллюстрациями фракталов называют также папоротники и капусту брокколи. «Всё так сложно, всё так просто» устроено в природе, замечают люди, с уважением прислушиваясь к ней.

«Природа наделила человека стремлением к обнаружению истины», — писал Цицерон, словами которого хотелось бы и закончить первую часть статьи о геометрии в природе.

Брокколи — идеальная природная иллюстрация фрактала.

Фото: pdphoto.org

Листья папоротника имеют форму фрактальной фигуры — они самоподобны.

Фото: Stockbyte/Photos.com

Зеленые фракталы: листья папоротника.

Фото: John Foxx/Photos.com

Жилки на пожелтевшем листе, имеющие форму фрактала.

Фото: Diego Barucco/Photos.com

Трещины на камне: фрактал в макро.

Фото: Bob Beale/Photos.com

Разветвления кровеносной системы на ушах кролика.

Фото: Lusoimages/Photos.com

Удар молнии — фрактальная ветка.

Фото: John R. Southern/flickr.com

Веточка артерий в человеческом теле.

Вьющаяся река и её ответвления.

Фото: Jupiterimages/Photos.com

Лёд, замерзший на стекле имеет самоподобный рисунок.

Фото: Schnobby/en.wikipedia.org

Листик плюща с разветвлением прожилок — фракталов по форме.

Фото: Wojciech Plonka/Photos.com

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Тема
:
Фракталы
—
особые
объекты
живого
и
неживого
мира

Хабаровск ТОГУ 2015

• Оглавление
• фрактал геометрический фрактальный графика
• История фракталов
• Классификация фракталов
• Геометрические фракталы
• Алгебраические фракталы
• Применение фракталов
• Фракталы и мир вокруг нас
• Фрактальная графика
• Применение фракталов
• Естественные науки
• Радиотехника
• Информатика
• Экономика и финансы

Очень часто мы встречаемся с особыми объектами, но мало кто знает, что это и есть фракталы. Фракталы — уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира. Они встречаются как в малых объектах, например, клеточная мембрана, и огромных, таких как Солнечная система и Галактика. В повседневной жизни мы можем увидеть фракталы на рисунке обоев, на ткани, заставке рабочего стола на компьютере, а в природе — это растения, морские животные, природные явления.

Термин фрактал был предложен в 1975г. Бенуа Мандельбротом для обозначения нерегулярных, самоподобных структур, которыми он занимался. Рождением фрактальной геометрии является выход его книги “The Fractal Geometry of Nature” в 1977г. Его работы базировались на трудах ученых Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантора и Хаусдорфа, работавших в 1875 ? 1925 годах в этой же области. Но удалось объединить их работы в единую систему только в наше время.

Бенуа Мандельброт в своих работах привел яркие примеры применения фракталов для объяснения некоторых природных явлений. Он уделил большое внимание интересному свойству, которым обладают многие фракталы. Дело в том, что часто фрактал можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая часть окажется просто уменьшенной копией целого. Иначе говоря, если мы будем смотреть на фрактал в микроскоп, то с удивлением увидим ту же самую картину, что и без микроскопа. Это свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Для современных учёных изучение фракталов? не просто новая область познания. Это открытие нового типа геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе, и в безграничной Вселенной. В настоящее время Мандельброт и другие учёные расширили область фрактальной геометрии так, что она может быть применима практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных бумаг до совершения новых открытий в теоретической физике.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков данной ломаной (инициатора) заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается фрактальная кривая. Несмотря на кажущуюся сложность этой кривой, её форма определяется лишь формой генератора.

Построение некоторых геометрических фракталов

1). Кривая Коха.

Она была изобретена в 1904 году немецким математиком по имени Хельге фон Кох. Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.

2). Салфетка Серпинского.

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект. Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д. По теории конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется — получится объект, состоящий из одних только дырок.

3). Дракон Хартера-Хэйтуэя.

Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера-Хейтуэя, впервые исследовали физикии NASA ? Джон Хейтуэй, Вильям Хартер и Брюс Бенкс. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American».

Каждый из отрезков прямой на следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого исходный отрезок являлся бы гипотенузой. В результате отрезок как бы прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо (по ходу движения слева направо), второй — влево, третий — опять вправо и т.д.

Примеры геометрических фракталов

Кривая
Коха
Салфетка
Серпинского

Дракон
Хартера-Хэйтуэя

Вторая большая группа фракталов — алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул.

Сложные (алгебраические) фракталы невозможно создать без помощи компьютера. Для получения красочных результатов этот компьютер должен обладать мощным математическим сопроцессором и монитором с высоким разрешением. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал.

1).
Теория хаоса: фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Хаос — это отсутствие предсказуемости. Он возникает в динамических системах, когда для двух очень близких начальных значений система ведет себя совершенно по-разному. Пример хаотичной динамической системы — погода. Примерами подобных систем являются турбулентные потоки, биологические популяции, общество и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Одной из центральных концепций в этой теории является невозможность точного предсказания состояния системы. Теория хаоса сосредотачивает внимание не на беспорядке системы (наследственной непредсказуемости системы), а на унаследованном ей порядке (общем в поведении похожих систем). Таким образом, наука о хаосе — это система представлений о различных формах порядка, где случайность становится организующим принципом.

8).
Фрактальные антенны: использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Он вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

9).
Сжатие изображений: достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений — очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

10).
Компьютерная графика: компьютерная графика переживает сегодня период интенсивного развития. Она оказалась способна воссоздать на экране монитора бесконечное разнообразие фрактальных форм и пейзажей, погружая зрителя в удивительное виртуальное пространство. В настоящие время при помощи сравнительно простых алгоритмов появилась возможность создавать трёхмерные изображения фантастических ландшафтов и форм, которые способны преобразовываться во времени в ещё более захватывающие картины. Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами (например, фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder). Фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности.

«
Красота всегда относительна…Не следует полагать, что берега океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать неправильной на основании того, что они не являются правильными конусами или пирамидами; из того, что расстояния между звёздами неодинаковы, ещё не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти неправильности существуют только в нашем воображении,
на самом деле они таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на Земле, ни в царстве растений и животных, ни среди людей». Эти слова английского учёного XVII в. Ричарда Бентли свидетельствуют о том, что идея объединить формы берегов, гор и небесных объектов и противопоставить их евклидовым построениям возникла в умах людей уже очень давно.

То, что мы наблюдаем в природе, часто интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Причудливые формы береговых линий и замысловатые изгибы рек, изломанные поверхности горных хребтов и очертания облаков, раскидистые ветви деревьев и коралловые рифы, робкое мерцание свечи и вспененные потоки горных рек — все это фракталы. Одни из них, типа облаков или бурных потоков, постоянно меняют свои очертания, другие, подобно деревьям или горным массивам, сохраняют свою структуру неизменной. Общим для всех типов фрактальных структур является их самоподобие — основное свойство, обеспечивающее выполнение во фракталах основного закона — закона единства в многообразии мироздания.

Фрактальными структурами также являются системы и органы человека. Так, например, кровеносные сосуды многократно разветвляются, т.е. имеют фрактальную природу. Электрическая активность сердца — фрактальный процесс. Кардиологи обнаружили, что спектральные характеристики сердечных сокращений подчиняются фрактальным законам, как землетрясения и экономические феномены. В тканях пищеварительного тракта одна волнистая поверхность встроена в другую. Легкие также представляют пример того, как большая площадь «втиснута» в маленькое пространство. В действительности, вся структура человеческого тела имеет фрактальную природу; это уже признано учеными. Принцип единого простого, задающего разнообразное сложное, заложен в геноме человека, когда одна клетка живого организма содержит информацию обо всем организме в целом.

Фрактальные структуры в природе

Приведем несколько образцов фото:

Как сказал биолог Джон Холдейн, “мир устроен не только причудливей, чем мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать”. Фракталы — не изобретения Мандельброта. Они существуют объективно. В природных формах и процессах, в науке и искусстве, которые этот мир отображают и познают. Именно “за изменение нашего взгляда на мир благодаря идеям фрактальной геометрии” Бенуа Мандельброту в 1993 году была присуждена почётная премия Вольфа в области физики.

В настоящее время большой популярностью пользуются фрактальные картины. Они производят совершенно фантастическое впечатление. Множество тонких линий, образующих одно целое, или же необычные элементы, сплетающиеся в единую картину. Вспышки яркого света и умеренные сглаженные линии. Фрактал кажется живым. Он горит, пылает, он завлекает, и Вы не можете отвести от него глаз, изучая даже самые крохотные и незначительные детали.

Фрактальные картины в интерьере

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.

Децентрализованные
сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku (эта сеть является проектом создания распределённой самоорганизующейся одноранговой сети, способной обеспечить взаимодействие огромного количества узлов при минимальной нагрузке на центральный процессор и память) использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Экономика и финансы

А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс.

Всякий раз, рассматривая фракталы, задумываешься, как прекрасен реальный мир и мир математики, и о том, что математика действительно является языком, который способен описать практически всё, что существует во Вселенной.

Библиографический список

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: “Институт компьютерных исследований”, 2002. 656 с.

2. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г. 140 с.

3. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М.: “Мир”, 1993. — 176 с.

4. Тихоплав В.Ю., Тихоплав Т.С. Гармония хаоса, или фрактальная реальность. С.-Петербург: ИД “Весь”, 2003. 340 с.

5. Федер Е. Фракталы. М: “Мир”, 1991. 254 с.

6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: “РХД”, 2001. 528 с.

Список сайтов о фракталах

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Рассмотрение фрактальной размерности как одной из характеристик инженерной поверхности. Описание природных фракталов. Измерение длины негладкой (изломанной) линии. Подобие и скейлинг, самоподобие и самоаффинность. Соотношение «периметр-площадь».

контрольная работа , добавлен 23.12.2015

История появления теории фракталов. Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом. Практическое применение теории фракталов.

научная работа , добавлен 12.05.2010

Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.

курсовая работа , добавлен 26.05.2006

Признаки некоторых четырехугольников. Реализация моделей геометрических ситуаций в средах динамической геометрии. Особенности динамической среды «Живая геометрия», особенности построения в ней моделей параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата.

курсовая работа , добавлен 28.05.2013

Геометрическая картина мира и предпосылки возникновения теории фракталов. Элементы детерминированной L-системы: алфавит, слово инициализации и набор порождающих правил. Фрактальные свойства социальных процессов: синергетика и хаотическая динамика.

курсовая работа , добавлен 22.03.2014

Изучение проявлений геометрических законов в живой природе и использования их в образовательной практической деятельности. Описание геометрических законов и сущность геометрических построений. Графическое образование и его место в современном мире.

дипломная работа , добавлен 24.06.2010

Определение понятия модели, необходимость их применения в науке и повседневной жизни. Характеристика методов материального и идеального моделирования. Классификация математических моделей (детерминированные, стохастические), этапы процесса их построения.

реферат , добавлен 20.08.2015

Исследование понятия симметрии, соразмерности, пропорциональности и одинаковости в расположении частей. Характеристика симметрических свойств геометрических фигур. Описания роли симметрии в архитектуре, природе и технике, в решении логических задач.

презентация , добавлен 06.12.2011

История математизации науки. Основные методы математизации. Пределы и проблемы математизации. Проблемы применения математических методов в различных науках связаны с самой математикой (математическое изучение моделей), с областью моделирования.

реферат , добавлен 24.05.2005

Понятие и история исследования золотого сечения. Особенности его отражения в математике, природе, архитектуре и живописи. Порядок и принципы построения, структура и сферы практического применения золотого сечения, математическое обоснование и значение.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

• Введение
• 1. Понятие фрактала
• 2. Классификация фракталов
• 4. Применение фракталов
• Заключение
• Список использованной литературы

Отношение к самоподобным математическим объектам изменилось с появлением компьютеров, когда появились первые изображения алгебраических и стохастических фракталов. Сразу после этого они заинтересовали не только математиков, но и физиков, биологов, акустиков, и всех, кто в своей работе сталкивался с природными объектами. Математиков фракталы привлекали незамысловатостью формул, которыми описываются столь сложные структуры, физиков — возможностью пересмотреть физику с новой позиции, биологов — соответствием изображений фракталов с различными биологическими объектами.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х 20-го века прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, с.5 — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. . Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, с.5 — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. . Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

1. Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

Геометрические фракталы. Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят — аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, предста­вляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых.

В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: Мир 1993,с.45 .

Французский математик Анри Пуанкаре инициировал исследования в области нелинейной динамики около 1890 года, что привело к появлению современной теории хаоса. Интерес к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, занимавшийся нелинейным мо­делированием погоды, в 1963 году обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды. Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных условий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии погоды в будущем. Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса.

Траектории частиц броуновского движения, которым занимались Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кривую — непрерывное отображение, переводящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с единицы до двойки. Граница снежинки Коха (1904 год), чья размерность d » 1,2618, — это еще одна хорошо известная кривая, повышающая размерность.

Фрактал, никоим образом не похожий на кривую, который Мандельброт назвал пылью — это классическое множество Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено, что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столько же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую «пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии. Фрактальная пыль того или иного рода появляется в многочисленных ситуациях. Фактически, она является универсальным фракталом в том смысле, что любой фрактал — аттрактор системы итерированных функций — представляет собой либо фрактальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низкой размерностью Пайтген Х.-О., Рихтер П., с. 22 .

Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев-растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кровеносной системы и др. Интересно отметить предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности-фрактала.

Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции у = /(х) и рассматривают поведение последовательности f(х), f(f(х)), f(f(f(x))),… В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением *множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений.

Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные случайные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Большинство людей, считают, что фракталы, это лишь красивые картинки, которые услаждают глаз. К счастью, это не так, и фракталы применяются во многих областях деятельности человека. Уже существует теоретическая база для создания новых направлений их применения, такие как диагностика заболеваний, прогнозирование разрушений при динамическом ударе и многие другие. Но, несмотря на теоретическую неисчерпаемость использования фракталов, можно предположить, что со временем выделятся основные направления их применения.

Подобные документы

Фрактал как множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической. Принципы и условия формирования соответствующей системы согласно исследованиям Мандельброта. Типы и значение фракталов, главные этапы их эволюции.

контрольная работа , добавлен 19.02.2015

Суть современных концепций относительности пространства и времени в специальной и общей теориях. Гиперхронологическое историческое пространство, ускорение исторического времени. Раскрытие понятий бифуркаций, фракталов, аттракторов, факторов случайности.

контрольная работа , добавлен 10.12.2009

Гуманитарный, технический, математический типы знания и естествознание в современной системе знания. Роль и значение математики и физики в познании мира. Отношение к природе в естественных и гуманитарных науках. Проблема противостояния науки и религии.

реферат , добавлен 26.11.2011

Развитие естественных наук в средние века, место и роль церкви в государстве. Построение теории строения атома на основе планетарной модели. Развитие астрономии, характеристики галактик. Теории возникновения жизни на Земле. Гипотезы происхождения рас.

контрольная работа , добавлен 14.09.2009

Гиппократ как основоположник современной клинической медицины. Заслуга ученых античности в развитии естественных наук. Содержание основных законов диалектики, применение диалектических методов исследования. Закон перехода количества в качество.

контрольная работа , добавлен 03.04.2011

Синергетика как теория самоорганизующихся систем в современном научном мире. История и логика возникновения синергетического подхода в естествознании. Влияние этого подхода на развитие науки. Методологическая значимость синергетики в современной науке.

реферат , добавлен 27.12.2016

Общая характеристика бактерий. Их строение, размножение и питание. Понятие о природных ресурсах и их характеристика. Строение и значение пищеварительной системы. Экономическая классификация природных ресурсов. Строение стенки пищеварительного канала.

контрольная работа , добавлен 09.10.2012

Тенденции развития сферы промышленности, энергетики, народного хозяйства в настоящее время. Преобразования в области науки. Последствия развития биотехнологий, разработок в естественных науках. Химические процессы и энергетика. Сохранение озонового слоя.

реферат , добавлен 18.11.2009

Применене принципа абсолютной объективности и определенности эмпирических данных в квантовой физике. Использование циркуля и линейки в евклидовой геометрии. Анализ периодической системы химических элементов Д.И. Менделеева. Свойсива точки бифуркации.

контрольная работа , добавлен 12.06.2015

Понятие о биоэлектрических явлениях. Возникновение современной мембранной теории возбуждения. Основные виды биоэлектрических потенциалов, механизм их возникновения и применение в медико-биологических лабораториях, в клинической практике при диагностике.

Для того чтобы понять, что такое фрактал, следовало бы начать разбор полетов с позиции математики, однако прежде чем углубляться в точные науки, мы немного пофилософствуем. Каждому человеку присуща природная любознательность, благодаря которой он и познает окружающий мир. Зачастую в своем стремлении познания он старается оперировать логикой в суждениях. Так, анализируя процессы, которые происходят вокруг, он пытается вычислить взаимосвязи и вывести определенные закономерности. Самые большие умы планеты заняты решением этих задач. Грубо говоря, наши ученые ищут закономерности там, где их нет, да и быть не должно. И тем не менее даже в хаосе есть связь между теми или иными событиями. Вот этой связью и выступает фрактал. В качестве примера рассмотрим сломанную ветку, валяющуюся на дороге. Если внимательно к ней присмотреться, то мы увидим, что она со всеми своими ответвлениями и сучками сама похожа на дерево. Вот эта схожесть отдельной части с единым целым свидетельствует о так называемом принципе рекурсивного самоподобия. Фракталы в природе можно найти сплошь и рядом, ведь многие неорганические и органические формы формируются аналогично. Это и облака, и морские раковины, и раковины улиток, и кроны деревьев, и даже кровеносная система. Данный список можно продолжать до бесконечности. Все эти случайные формы с легкостью описывает фрактальный алгоритм. Вот мы подошли к тому, чтобы рассмотреть, что такое фрактал с позиции точных наук.

Немного сухих фактов

Само слово «фрактал» с латыни переводится как “частичный”, “разделенный”, “раздробленный”, а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. Этот термин придумал в семидесятых годах ХХ века Бенуа Мандельброт, который признан отцом фрактальной геометрии. Сегодня под понятием фрактала подразумевают графическое изображение некой структуры, которая при увеличенном масштабе будет подобна сама себе. Однако математическая база для создания этой теории была заложена еще до рождения самого Мандельброта, а вот развиваться она не могла, пока не появились электронные вычислительные машины.

Историческая справка, или Как все начиналось

На рубеже 19-20 веков изучение природы фракталов носило эпизодический характер. Это объясняется тем, что математики предпочитали изучать объекты, поддающиеся исследованию, на основе общих теорий и методов. В 1872 году немецким математиком К. Вейерштрассом был построен пример непрерывной функции, нигде не дифференцируемой. Однако это построение оказалась целиком абстрактным и трудным для восприятия. Дальше пошел швед Хельге фон Кох, который в 1904 году построил непрерывную кривую, не имеющую нигде касательной. Ее довольно легко нарисовать, и, как оказалось, она характеризуется фрактальными свойствами. Один из вариантов данной кривой назвали в честь ее автора – «снежинка Коха». Далее идею самоподобия фигур развивал будущий наставник Б. Мандельброта француз Поль Леви. В 1938 году он опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому». В ней он описал новый вид – С-кривую Леви. Все вышеперечисленные фигуры условно относятся к такому виду, как геометрические фракталы.

Динамические, или алгебраические фракталы

К данному классу относится множество Мандельброта. Первыми исследователями этого направления стали французские математики Пьер Фату и Гастон Жюлиа. В 1918 году Жюлиа опубликовал работу, в основе которой лежало изучение итераций рациональных комплексных функций. Здесь он описал семейство фракталов, которые близко связаны с множеством Мандельброта. Невзирая на то что данная работа прославила автора среди математиков, о ней быстро забыли. И только спустя полвека благодаря компьютерам труд Жюлиа получил вторую жизнь. ЭВМ позволили сделать видимым для каждого человека ту красоту и богатство мира фракталов, которые могли «видеть» математики, отображая их через функции. Мандельброт стал первым, кто использовал компьютер для проведения вычислений (вручную такой объем невозможно провести), позволивших построить изображение этих фигур.

Человек с пространственным воображением

Мандельброт начинал свою научную карьеру в исследовательском центре IBM. Изучая возможности передачи данных на большие расстояния, ученые столкнулись с фактом больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. Бенуа искал пути решения этой проблемы. Просматривая результаты измерений, он обратил внимание на странную закономерность, а именно: графики шумов выглядели одинаково в разном масштабе времени. Аналогичная картина наблюдалась как для периода в один день, так и для семи дней или для часа. Сам Бенуа Мандельброт часто повторял, что он работает не с формулами, а играет с картинками. Этот ученый отличался образным мышлением, любую алгебраическую задачу он переводил в геометрическую область, где правильный ответ очевиден. Так что неудивительно, что такой человек, отличающийся богатым пространственным мышлением, и стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание данной фигуры может прийти только тогда, когда изучаешь рисунки и вдумываешься в смысл этих странных завихрений, образующих узор. Фрактальные рисунки не имеют идентичных элементов, однако обладают подобностью при любом масштабе.

Жюлиа – Мандельброт

Одним из первых рисунков этой фигуры была графическая интерпретация множества, которая родилась благодаря работам Гастона Жюлиа и была доработана Мандельбротом. Гастон пытался представить, как выглядит множество, построенное на базе простой формулы, которая проитерирована циклом обратной связи. Попробуем сказанное объяснить человеческим языком, так сказать, на пальцах. Для конкретного числового значения с помощью формулы находим новое значение. Подставляем его в формулу и находим следующее. В результате получается большая числовая последовательность. Для представления такого множества требуется проделать эту операцию огромное количество раз: сотни, тысячи, миллионы. Это и проделал Бенуа. Он обработал последовательность и перенес результаты в графическую форму. Впоследствии он раскрасил полученную фигуру (каждый цвет соответствует определенному числу итераций). Данное графическое изображение получило имя «фрактал Мандельброта».

Л. Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов довольно быстро нашла практическое применение. Так как она весьма тесно связана с визуализацией самоподобных образов, то первыми, кто взял на вооружение принципы и алгоритмы построения этих необычных форм, стали художники. Первым из них стал будущий основатель студии Pixar Лорен Карпентер. Работая над презентацией прототипов самолетов, ему в голову пришла идея в качестве фона использовать изображение гор. Сегодня с такой задачей сможет справиться практически каждый пользователь компьютера, а в семидесятых годах прошлого века ЭВМ были не в состоянии выполнять такие процессы, ведь графических редакторов и приложений для трехмерной графики на тот момент еще не было. И вот Лорену попалась книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В ней Бенуа приводил множество примеров, показывая, что существуют фракталы в природе (фыва), он описывал их разнообразную форму и доказывал, что они легко описываются математическими выражениями. Данную аналогию математик приводил в качестве аргумента полезности разрабатываемой им теории в ответ на шквал критики от своих коллег. Они утверждали, что фрактал – это всего лишь красивая картинка, не имеющая никакой ценности, являющаяся побочным результатом работы электронных машин. Карпентер решил опробовать этот метод на практике. Внимательно изучив книгу, будущий аниматор стал искать способ реализации фрактальной геометрии в компьютерной графике. Ему понадобилось всего три дня, чтобы визуализировать вполне реалистичное изображение горного ландшафта на своем компьютере. И сегодня этот принцип широко используется. Как оказалось, создание фракталов не занимает много времени и сил.

Решение Карпентера

Принцип, использованный Лореном, оказался прост. Он состоит в том, чтобы разделить более крупные геометрические фигуры на мелкие элементы, а те – на аналогичные меньшего размера, и так далее. Карпентер, используя крупные треугольники, дробил их на 4 мелких, и так далее, до тех пор, пока у него не получился реалистичный горный пейзаж. Таким образом, он стал первым художником, который применил фрактальный алгоритм в компьютерной графике для построения требуемого изображения. Сегодня этот принцип используется для имитации различных реалистичных природных форм.

Первая 3D-визуализация на фрактальном алгоритме

Уже через несколько лет Лорен применил свои наработки в масштабном проекте – анимационном ролике Vol Libre, показанном на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло многих, и его создатель был приглашен работать в Lucasfilm. Здесь аниматор смог реализоваться в полной мере, он создал трехмерные ландшафты (целую планету) для полнометражного фильма “Star Trek”. Любая современная программа («Фракталы») или приложение для создания трехмерной графики (Terragen, Vue, Bryce) использует все тот же алгоритм для моделирования текстур и поверхностей.

Том Беддард

В прошлом лазерный физик, а ныне цифровых дел мастер и художник, Беддард создал ряд весьма интригующих геометрических фигур, которые назвал фракталы Фаберже. Внешне они напоминают декоративные яйца русского ювелира, на них такой же блестящий замысловатый узор. Беддард использовал шаблонный метод для создания своих цифровых визуализаций моделей. Полученные изделия поражают своей красотой. Хоть многие отказываются сравнивать продукт ручной работы с компьютерной программой, однако следует признать, что полученные формы необычайно красивы. Изюминка заключается в том, что построить такой фрактал сможет любой желающий, воспользовавшись программной библиотекой WebGL. Она позволяет исследовать в реальном времени различные фрактальные структуры.

Фракталы в природе

Мало кто обращает внимание, но эти удивительные фигуры присутствуют повсюду. Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы. Или взять, к примеру, ананас или даже хвост павлина – они состоят из подобных фигур. А сорт капусты брокколи Романеску вообще поражает своим видом, ведь это поистине можно назвать чудом природы.

Музыкальная пауза

Оказывается, фракталы – это не только геометрические фигуры, они могут быть и звуками. Так, музыкант Джонатан Колтон пишет музыку с помощью фрактальных алгоритмов. Он утверждает, что такая мелодия соответствует природной гармонии. Композитор все свои произведения публикует под лицензией CreativeCommons Attribution-Noncommercial, которая предусматривает свободное распространение, копирование, передачу произведений другими лицами.

Индикатор-фрактал

Данная методика нашла весьма неожиданное применение. На ее основе создан инструмент для анализа рынка фондовой биржи, и, как следствие, его начали применять на рынке «Форекс». Сейчас индикатор-фрактал находится на всех торговых платформах и применяется в торговой технике, которую называют ценовым прорывом. Разработал эту методику Билл Вильямс. Как комментирует свое изобретение автор, данный алгоритм является сочетанием нескольких «свечей», в котором центральная отражает максимальную либо, наоборот, минимальную экстремальную точку.

В заключение

Вот мы и рассмотрели, что такое фрактал. Оказывается, в хаосе, который окружает нас, на самом деле существуют идеальные формы. Природа является лучшим архитектором, идеальным строителем и инженером. Она устроена весьма логично, и если мы не можем найти закономерность, это не значит, что ее нет. Может быть, нужно искать в ином масштабе. С уверенностью можно сказать, что фракталы хранят еще немало секретов, которые нам только предстоит открыть.

Недавно я узнала о таких интереснейших объектах математического мира как фракталы. Но существуют они не только в математики. Они окружают нас повсюду. Фракталы бывают природные. О том, что такое фракталы, о видах фракталов, о примерах этих объектов и их применении я и расскажу в этой статье. Для начала кратко расскажу, что такое фрактал.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Для примера я вставлю картинку с изображением четырех разных фракталов.

Расскажу немного об истории фракталов. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Примеров фракталов можно привести массу, потому что, как и говорила, они окружают нас повсюду. По-моему, даже вся наша Вселенная — это один огромный фрактал. Ведь все в ней, от строения атома до строения самой Вселенной, в точности повторяет друг друга. Но есть, конечно, и более конкретные примеры фракталов из разных областей. Фракталы, к примеру, присутствуют в комплексной динамике. Там они естественным образом появляются при изучении нелинейных динамических систем
. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена
или голоморфной функцией комплекса переменных
на плоскости. Одними из самых известных фракталов такого вида являются множество Жюлиа, множество Мандельброта и бассейны Ньютона. Ниже по порядку на картинки изображены каждый из вышеперечисленных фракталов.

Еще одним примером фракталов являются фрактальные кривые. Объяснить, как строиться фрактал лучше всего именно на примере фрактальных кривых. Одной из таких кривых является, так называемая, Снежинка Коха. Существует простая
процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Ниже показана Снежинка (или кривая) Коха.

Фрактальных кривых так же существует огромное множество. Самые известные из них — это, уже упомянутая, Снежинка Коха, а также кривая Леви, кривая Минковского, ломанная Дракона, кривая Пиано и дерево Пифагора. Изображение данных фракталов и их историю, я думаю, при желании вы легко сможете найти в Википедии.

Третьим примером или видом фракталов являются стохастические фракталы. К таким фракталам можно отнести траекторию
броуновского движения на плоскости и в пространстве, эволюции Шрамма-Лёвнера, различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр.

Существуют так же чисто математические фракталы. Это, например, канторово множество, губка Менгера, Треугольник Серпинского и другие.

Но самые, пожалуй, интересные фракталы — это природные. Природные фракталы — это такие объекты в природе, которые обладают фрактальными свойствами. И тут уже список большой. Я не буду перечислять все, потому что, наверное, всех и не перечислить, но о некоторых расскажу. Вот, к примеру, в живой природе к таким фракталам относятся наша кровеносная система и легкие. А еще кроны и листья деревьев. Так же сюда можно отнести морских звезд, морских ежей, кораллы, морские раковины, некоторые растения, такие как капуста или брокколи. Ниже наглядно показаны несколько таких природных фракталов из живой природы.

Если же рассматривать неживую природу, то там интересных примеров гораздо больше, нежели в живой. Молнии, снежинки, облака, всем известные, узоры на окнах в морозные дни, кристаллики, горные хребты — все это является примерами природных фракталов из неживой природы.

Примеры и виды фракталы мы рассмотрели. Что же касается применения фракталов, то они применяются в самых разных областях знаний. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии. Так же фракталы активно используются в радиотехнике, в информатике и компьютерных технологиях, телекоммуникациях и даже экономике. Ну и, конечно же, фрактальное видение, активно используется в современном искусстве и архитектуре. Вот один из примеров фрактальных картин:

И так, на этом я думаю завершить свой рассказ о таком необычном математическом явлении как фрактал. Сегодня мы узнали о том, что такое фрактал, как он появился, о видах и о примерах фракталов. А так же я рассказала о их применении и продемонстрировала некоторые из фракталов наглядно. Надеюсь, вам понравилась эта небольшая экскурсия в мир удивительных и завораживающих фрактальных объектов.

Фракталы в природе, или чему не учили в школе. | Kaleidoscope

Папоротник один из ярких примеров фракталов в природе

Папоротник один из ярких примеров фракталов в природе

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
• Является самоподобным или приближённо самоподобным.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

Вид спереди на трахею и бронхи

Вид спереди на трахею и бронхи

Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.

• В живой природе:
• Кораллы
• Морские звезды и ежи
• Морские раковины
• Цветы и растения (брокколи, капуста)
• Кроны деревьев и листья растений
• Плоды (ананас)
• Система кровообращения и бронхи людей и животных
• В неживой природе:
• Границы географических объектов (стран, областей, городов)
• Береговые линии
• Горные хребты
• Снежинки
• Облака
• Молнии
• Морозные узоры на оконных стёклах
• Кристаллы
• Сталактиты, сталагмиты, геликтиты.

А вот тут есть несколько крутых видео, в которых подробно рассказывается о фракталах, симметрии, и бозоне хиггса (да как оказалось, все в природе взаимосвязано и подчиняется законам математики и физики)

Видео с канала Solipschism про фракталы

Видео с канала Топлес про симметрию

Видео с канала Топлес про бозон Хиггса

посмотрев эти три видео, ваша жизнь не будет прежней! Советую потратить свое время и обязательно посмотреть эти очень интересные работы.

Фракталы в природе — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации: Фракталы в природе

Подготовила Андреева Алина
Р-12/9

Изображение слайда

2

Слайд 2

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа ), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.
Фрактальная форма кочана капусты сорта Романеско
Множество Мандельброта — классический образец фрактала

Изображение слайда

3

Слайд 3

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:
1. Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
2. Является самоподобным или приближённо самоподобным.
3. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
4. Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Изображение слайда

4

Слайд 4: Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

Природные объекты отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.
В живой природе:
Кораллы
Морские звезды и ежи
Морские раковины
Цветы и растения (брокколи, капуста)
Кроны деревьев и листья растений
Плоды (ананас)
Система кровообращения и бронхи людей и животных
В неживой природе:
Границы географических объектов (стран, областей, городов)
Береговые линии
Горные хребты
Снежинки
Облака
Молнии
Морозные узоры на оконных стёклах
Кристаллы
Сталактиты, сталагмиты, геликтиты.

Изображение слайда

5

Слайд 5

Изображение слайда

6

Слайд 6

Изображение слайда

7

Слайд 7

Изображение слайда

8

Последний слайд презентации: Фракталы в природе

Изображение слайда

Фракталы в биологии

Введение

Фрактальное множество — само подобная структура- один из «горячих»
объектов современной науки.

Подобные объекты были известны довольно давно, но настоящий интерес к
ним появился после активной популяризаторской деятельности Бенуа
Мандельброта, работающего в корпорации IBM.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с
середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово
фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий
из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он
занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в
1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его
работах использованы научные результаты других ученых, работавших в
период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор,
Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую
систему.

1977 год можно считать началом переворота, который геометрия фракталов
производит не только а в математике и в физике, но и во всем
естествознании. И даже уже в обществоведении, где лингвисты открыли
общие фрактальные закономерности в строении самых разных языков. И все
это — в считанные годы! Таких темпов общенаучной экспансии не знает
история  в науке.

Фракталы — это фигуры с бесконечным количеством деталей. При увеличении,
они не становятся более простыми, а остаются такими же сложными, как до
увеличения. В природе, вы можете находить их повсюду. Любая ветка
дерева, при увеличении, напоминает целое дерево. Любой камень с горы
напоминает целую гору. Теория фракталов была сначала разработана для
изучения природы. Теперь она используется в ряде других областей. И,
естественно, красота делает фракталы популярными!

Красота фракталов двояка: она услаждает глаз ( и слух), о чем
свидетельствует хотя бы обошедшая весь мир выставка фрактальных
изображений, организованная группой математиков под руководством
Пайтгена и Рихтера. Позднее экспонаты этой грандиозной выставки были
запечатлены в иллюстрациях к книге «Красота фракталов». Но существует и
другой, более абстрактный или возвышенный, аспект красоты фракталов,
открытый, по словам Р.Фейнмана, только умственному взору теоретика, в
этом смысле фракталы прекрасны красотой трудной математической задачи.

Фракталы обладают еще одной ипостасью, делающей их еще более прекрасными
В глазах  теоретика. Структура фракталов настолько сложна, что оставляет
заметный отпечаток на физических процессах, протекающих на фракталах как
на носителях. Фракталы иначе рассеивают электромагнитное излучение, по
другому колеблются и звучат, иначе проводят электричество, по фракталам
иначе происходит диффузия вещества. Возникает новая область
естествознания — физика фракталов. Фракталы становятся удобными
моделями, чем-то вроде интегрируемых задач классической механики, для
описания процессов в средах, ранее считавшихся неупорядоченными.

Жидкость, газ, твердое тело — три привычных для нас состояния
однородного вещества, существующего в трехмерном мире . Но какова
размерность облака, клуба дыма, точнее их границ, размываемые
турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но
меньше трех . Аналогичным образом можно посчитать размерности других
реальных объектах вроде береговой линии или кроны дерева. Кровеносная
система человека, например, имеет размерность порядка 2.7. Все объекты с
нечеткой, хаотичной, неупорядоченной структурой оказались состоящими из
фракталов. Связь между хаосом и фракталами далеко не случайна — она
выражает их глубокую общность. Фрактальную геометрию можно назвать
геометрией хаоса.

При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и
обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей
предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще
подарит нам немало шедевров — тех, которые услаждают глаз, и тех,
которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Роль фракталов в
машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь,
например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать
линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной
графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных
облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого
представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма
похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом
простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем
фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом
называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле
подобны целому».

Классификация фракталов

Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их
общепринятой классификации
.

1.     
Геометрические фракталы

           
Фракталы этого класса самые наглядные.
В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг
алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на
ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного
повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила
построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка,
соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный
отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно
сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При
построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева
звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена
смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев,
направления смещения середин отрезков должны чередоваться. .

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при
получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные
геометрические фракталы используются для создания объемных текстур
(рисунка на поверхности объекта).

2.     
Алгебраические фракталы

         Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью
нелинейных процессов в n-мерных пространствах.

3.     
Стохастические фракталы

            Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в
итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры.
При этом получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные
деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические
фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности
моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов
на детерминированные (алгебраические и геометрические) и
недетерминированные (стохастические).

У любого фрактала есть бесконечно повторяющаяся форма. При создании
такого фрактала, естественно, что самый простой способ состоит в том,
чтобы повторить несколько действий, которые создают эту форму. Вместо
слова «повтор» можно использовать математический синоним «итерация».

Чтобы создать
настоящий фрактал, надо выполнить итерацию бесконечное количество раз.
Однако, при выполнении этого на компьютере, возможности ограничены
скоростью и количеством точек, так что итерации выполняются несколько
раз. Увеличение количества итераций делает фракталы более точными.

ВИДЫ ИТЕРАЦИИ

Существуют три основных вида итерации:

1. Заменительная Итерация — Создает фракталы, заменяя некоторые
геометрические фигуры другими фигурами.

2. Итерация ИФС — Создает фракталы, применяя геометрические
преобразования (типа вращения и отражения) для геометрических фигур.

3. Итерация Формулы — Включает несколько путей создания фракталов,
повторяя некоторую математическую формулу или несколько формул.

Существуют также несколько не основных видов итерации. Например,
фракталы можно создавать, итерируя процесс свертывания бумаги. Однако,
эти фракталы могут также быть созданы, используя по крайней мере один из
основных видов итерации.

Заменительная итерация

Один из способов создания фракталов — заменительная итерация. Для ее
выполнения мы начинаем с фигуры называемой основой. Затем каждая часть
основы заменяется другой фигурой, называемой мотивом. В новом рисунке мы
снова заменяем каждую частью мотивом. Если мы выполним эти замены
бесконечное количество раз, мы закончим фракталом.

L-системы

Заменительная итерация очень проста. Все, что дня нее необходимо — это
повторная замена основы мотивом. Для компьютера, однако, не достаточно
иметь изображение основы и мотива. Мы нуждаемся в способе сохранения
данных о фрактале, который не тратит много памяти на графические
изображения и позволяет создавать простые алгоритмы для черчения
фракталов. Наилучший подобный способ — это л-системы. ). L-система — это
грамматика некоторого языка (достаточно простого), которая описывает
инициатор и преобразование, выполняемое над ним, при помощи средств,
аналогичных средствам языка Лого (аксиоматическое описание простейших
геометрических фигур и допустимых преобразований на плоскости и в
пространстве).  Л-системы были разработаны А. Линденмейером («л» в слове
«L-система»
— его инициал). Они составлены из определения угла, аксиомы и по крайней
мере одного правила. Аксиома — это начальная форма (основа),
используемая в процессе создания фрактала. Правила указывают, какие
символы в аксиоме должны быть заменены другими символами.

Большинство фракталов с фрактальной размерностью от 0 до 2 могут быть
выражены, используя л-системы. Комбинация нескольких символов и правил
могут создавать очень сложные фракталы. Такие л-системы используются,
чтобы делать реалистичные модели растений.

Формульная итерация

Формульная итерация — самый простой вид итерации, однако он наиболее
важный и дает самые сложные результаты. Он основан на использовании
математической формулы для постоянного изменения числа.

Теоретические предпосылки.

 Но Фрактальную
геометрию в основном использовали только математики и Физики. Вот
появилась идея использовать принципы фрактальной геометрии в биологии.

Исходя из того, что
Фракталы в неживой природе отображают процесс разрушения (энтропия
увеличивается), а в живой природе — процесс созидания (энтропия
уменьшается).

           
Термодинамические процессы в живой природе идут по пути уменьшения
энтропии системы, увеличения организованности объектов. Эти свойства
являются фундаментальными для живой природы. Другие свойства живого —
это рост и развитие. То есть живой объект постепенно разворачивается в
пространстве и времени, увеличивая свои размеры и массу. (береговая
линия — результат разрушения неких неживых тел (пород)). То есть, исходя
из выше сказанного, мы предположили — в живой природе можно наблюдать
фрактальные явления , можно попытаться их построить. На первом этапе мы
решили попробовать проследить фрактальные явления там, где они сами
напрашиваются на реализацию. В биологии при изучении роста растений была
выявлена такая закономерность как «Ветвление».

           
Ветвление возникло в процессе эволюции тела растений еще до появление
органов. Существуют несколько типов ветвления: дихотомическое,
моноподиальное, симподильное.

            При
дихотомическом ветвлении конус нарастания раздваивается, образуя два
побега, каждый из которых в свою очередь дает еще два побега и т.д. Это
ветвление наиболее древние и, оно представлено у плаунов и некоторых
других растений (рис 2) для построения таково тип ветвления надо
выставить в рабочей области как показано на рис 3.

(рис 2)

(рис 3)

            При
моноподиальном ветвлении имеет место длительный неограниченный
верхушечный рост главной оси первого порядка — моноподия от которой
отходят более короткие боковые оси второго и последующих порядков. Их
количество зависит от времени жизни растения. Это ветвление свойственно
многим голосеменным (ель, пихта, кипарис и т.д.) (рис 4). Их ствол
представляет ось одного порядка. Для построения такого типа ветвления
надо установить все параметры  в рабочей области как показано на рисунке
5.

(рис 4)

(рис 5)

            При
симподильном ветвлении главная ось рано прекращает вой рост , но под
ее верхушкой трогается в рост боковая почка Выросший из нее побег как бы
продолжает ось первого порядка. Этот побег в свою очередь также
прекращает верхушечный рост, и тогда начинает расти его боковая почка,
из которой возникает ось третьего порядка, и т.д. Такое ветвление
характерно для большинства деревьев, кустарников и т.д.( рис 6). Для
построения такого тип ветвления надо установить все параметры в рабочей
области как показано на рисунке 7. Симподильное ветвление эволюционно
более продвинутое.

(рис 6)

(рис 7)

            
Существуют два вида тоста первичный рост и вторичный рост.

Первичный рост
происходит в близи верхушечных корней и стеблей. Он начинает их
апикльными маристеиами и связан главным образом с удлинением тела
растений. В ходе первичного роста образуются первичные ткани,
составляющее первичное тело растения. Примитивные,  также и многие
современные сосудистые растения состоят целиком из первичных тканей.

            Кроме
первичного у многих растений происходит дополнительный рост, вызывающий
утолщения стебля. Он называется вторичным и вязан с активностью
латеральной меристемы, камбия, который формирует вторичные проводящие
ткни. Вторичные проводящие вместе с пробковой тканью составляют
вторичное тело растения.

           
Вторичный рост сопровождается изменением цвета стебля. И в зависимости
от количества вторичной проводящей ткни окрас темнеет.

Решение проблемы.

Появилась идея попробовать создать программу при помощи которой можно
было бы моделировать кроны деревьев.

В ходе работы была
создана программа позволяющая быстро и удобно моделировать ветвление. В
данной программе в отличии от других при увеличении числа итераций
структура усложняется путем не дробления на себе подобные, а
разворачивания себе подобных структур из точек роста. Поэтому в данном
случаи можно рассматривать число итераций как возраст растения.
Отличительной особенностью программы является удобный интерфейс. В
отличии то других программ не нужно вводить данные в виде формулы, а
визуально строить единичную структуру.

            В своей
работе я использовал геометрический метод построения фракталов,
поскольку   он является наиболее удобным для построения изображений
кроны. Изображения строится как растущее.

           
Существенным отличием моей программы от программ подобного рода является
применение удобного интерфейса. Этот интерфейс удобен тем, что
пользователю легко  вводить все необходимые данные.

            В данной
программе я использовал  рекурсивный вызов процедуры построения
единичной фигуру.

            Алгоритм
программы следующий:

           
Пользователь задает единичную фигуру, расположения почек роста, угол
наклона, количество генерацией, степень уменьшения следующий фигуры.

            Затем
все эти данные записываются в массив.

           
Программа строит единичную фигуру с данным углом. Определяет где
находятся точки роста. Строит следующею фигуру с этой точки заданное
количество раз. Размер фигуру меньше начальной в заданное количество
раз. При этом каждая новая фигур отличается по цвету от предыдущей. Цвет
последней линии ярко зеленый поэтому, при большом количестве итераций,
это имитирует листья которые действительно находятся на концах веток.
Скорость построения зависит от количества итераций, поэтому следует
вводить значение не больше 10.

Заключение

Привлекательность задачи на построения фрактальных изображений состоит
не только в том,  что эти изображения очень красивы, но и в том что и
строятся они по средством простых алгоритмов.

            В реальном мире мы не встретим геометрических форм,
соответствующих канонам евклидовой геометрии, Его геометрическая
первооснова оказывается фрактальной. Объединив идею фрактальности с
идеей формообразующей случайности, современная геометрия совершила
гигантский качественный скачок. Впервые за свою историю математика
оказалась в состоянии правильно отражать мир во всем многообразии его
сложных форм, не прибегая  к многоярусным нагромождениям все более
абстрактных и искусственных интеллектуальных конструкций. В этом  плане
особенно показательно то, как фрактальная геометрия рисует мир. Здесь
человек научился творить многообразие геометрических форм наподобие
самой природы. Пусть для начала — лишь на экране дисплея.

            Кроме того, модели фрактального роста быстро вышли за рамки
компьютерной графики. Они оказались феноменально продуктивны во многих
областях физики и химии. Так, они вносят теоретическую ясность во многие
проблемы, связанные с прочностью материалов.
        

Даже загадочный феномен шаровой молнии удалось смоделировать на
фрактальных структурах из тонкой проволоки. В помещении поведение этой
конструкции аналогично поведению залетевшей шаровой молнии. Если
материальная модель столь эффективна , то из этого прямо следует
эффективность представлений о фрактальной структуре самих шаровых
молний.

               

В данной работе я,  вместе с наукой наших дней, попытался освоить
определенный тип геометрического описания природы — фрактальный.
Перспективы работы в этой области безграничны, как и сама природа.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ
ЛИТЕРАТУРА

 С.
К.Абачиев Концепция современного естествознания. Балашиха — 1998.

Р. Баас, М. Фервай, Х. Гюнтер

Delphi
5: для пользователей :пер. с нем. — Издательская группа

BHV,
2000г.

Г. П. Яковлев, В. А. Челомбитько Ботаника. М. 1990г. 

http://library.thinkquest.org/26242/russian/tutorial/tutorial.html

http://mahp.oil.rb.ru/kniga/

http://www.chat.ru/~fractals/

http://www.geocities.com/SoHo/Studios/6648/fractals.htm

http://www.ipm.sci-nnov.ru/~demidov/java.htm

http://www.visti.net/cplusp/all_96/6n96y/6n96y1a.htm

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ (ПРОЕКТ)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ (ПРОЕКТ)

Супранович А.П. 1

1МБОУ Назарьевская СОШ

Патрицкая М.А. 1Патрицкая М.А. 1

1МБОУ НАЗАРЬЕВСКАЯ СОШ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Содержание:

Паспорт проектной работы:

Название проекта – «Геометрические фракталы в природе»

Автор: Супранович Арина Павловна, МБОУ Назарьевская СОШ

Научный руководитель: Качурина Валентина Евгеньевна, учитель математики МБОУ Назарьевская СОШ

Цель: изготовление примера фрактала, встречающегося в природе своими руками.

Задачи:

1.Выяснить историю открытия геометрического фрактала и применения его в природе.

2.Провести эксперимент по изготовлению образца фрактала, встречающегося в природе.

Результат проекта (продукт) – получение снежинки.

Этапы проектной работы

Материально –техническое обеспечение проекта – схема вязания, нитки, крючок.

(Слайд 5) 1.ВВЕДЕНИЕ

Цель проектной работы:

Целью данной работы является изготовление примера фрактала, встречающегося в природе.

Задачи проектной работы:

1. Выяснить историю открытия фрактала и его применение в природе.

2. Провести эксперимент по изготовлению образца фрактала, встречающегося в природе.

Гипотеза проектной работы:

Можно ли изготовить фрактал, встречающийся в природе?

Актуальность проектной работы:

Применение геометрических фракталов в природе.

Характеристика работы

Изучение применения фракталов в окружающей нас природе.

Краткий обзор литературы по данной теме.

Основной литературой по изготовлению снежинки был журнал, а также Интернет –ресурсы различных сайтов.¹

(Слайд 6)

1. 
   Основная часть

Тема моей проектно – исследовательской работы называется «Геометрические фракталы в природе».

Она очень актуальна в настоящее время, так как имеет очень широкое распространение и применение в нашей жизни.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы (Приложение № 1). Например, сорт капусты брокколи Романеску поражает своим видом, ведь это поистине можно назвать чудом природы — он весь состоит из фракталов (Приложение № 2).

(Слайд 7)

2.1Теоретическая часть — история открытия фракталов.

Фракталы были открыты на рубеже XIX и XX веков и сначала очень мало использовались.

Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно применять фракталы.

Многие люди считают математику сухой и неинтересной наукой… На самом деле это не так — математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть.

Вот как писал сам Мандельброт в своей книге «Фрактальная геометрия природы»:

«Почему математику часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака — это не сферы, горы — не углы, линия побережья — не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия…»²

Удивительная простота фракталов и разнообразие их форм сделали фрактальную геометрию необычайно эффективным орудием для описания морфологических³ свойств природы. Не случайно говорится: «Мудрость в простоте.» Принцип единого простого заложен в геноме человека и животных, когда одна клетка живого организма содержит всю информацию обо всём организме в целом. Форму фрактала имеют легкие человека, мозг, кровеносная система и др.

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная система человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (например, фрактальная геометрия позволила ученым измерить береговые линии островов — ранее неизмеримые объекты), (Приложение № 3).

(Слайд 8)

2.2 Практическая часть – изготовление снежинки

Образцом фрактала, встречающегося в природе, я решила выбрать снежинку, поскольку она является примером разнообразия фрактальных форм, которые встречаются в природе – ведь каждая снежинка уникальна!!!

Даже связанная снежинка может быть абсолютно уникальной – все зависит от вашей фантазии.

Для ее изготовления мне понадобятся:

1. 
   Журнал со схемами ⁴

2. 
   Схемы из интернета⁵

3. 
   Нитки

4. 
   Крючок

5. 
   Немного навыков и терпения

(Слайд 9)

2.2.1 Технология изготовления

Инструкция (Приложение №4):

1. 
   Выбрать наиболее понравившуюся схему.

2. 
   Выбрать нитки.

3. 
   Подобрать крючок для вязания.

4. 
   Изучить условные обозначения к схеме, которую будем использовать.

5. 
   Запостись терпением и приступить к вязанию согласно выбранной схемы.

Спустя некоторое время у вас в руках окажется связанная вами снежинка!!

По этой инструкции можно изготовить много разнообразных форм снежинок и в последующем их применением, например, для украшения интерьера.

(Слайд 10)3. Выводы

На примере связанной мною снежинки можно увидеть, насколько разнообразны геометрические фракталы, окружающие нас в жизни, а также я доказала, что их можно создавать своими руками!!

(Слайд 11)

1. 
   Заключение

На уроках математики мы изучаем окружности, параллелограммы, треугольники, квадраты и т. д. Однако в природе большей частью объекты «неправильные» — шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями.

Удивительная простота фракталов и разнообразие их форм сделали фрактальную геометрию очень интересной наукой. Благодаря открытию фракталов стало возможным измерять сложные формы природных объектов.

1. 
   Список используемой литературы

1. 
   Бенуа Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы = The Fractal Geometry of Nature. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002

2. 
   Вяжем крючком № 12 (декабрь 2016 года)

3. 
   Электронный ресурс:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал

Определение Фрактала

1. 
   Электронный ресурс:

http://www.krasfun.ru/2010/09/fraktaly-v-prirode/

Фракталы в природе

1. 
   Электронный ресурс:

http://fb.ru/article/139068/chto-takoe-fraktal-fraktalyi-v-prirode

Что такое фрактал, фракталы в природе

Рецензия

на работу ученицы 5 класса Супранович Арины Павловны

«Геометрические фракталы в природе»

1. Предмет анализа: проектная работа «Геометрические фракталы в природе».

2. Актуальность темы: интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов в природе. Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно применять фракталы.

3. Формулировка основного тезиса: изготовление примера фрактала, встречающегося в природе.

4. Краткое содержание работы: в начале работы поясняется причина выбора данной темы, и указываются объект, цели и задачи исследования. Далее рассматривается история возникновения фракталов и различные его виды. Подобран хороший материал: фракталы в природе, биологии и быту. В работе собрана прекрасная галерея фракталов в природе.

5. Общая оценка: оценивая работу в целом, можно сказать, что тема раскрыта полностью, суммируя результаты отдельных глав, напрашивается вывод о соответствии выбранной темы с её содержанием – каждый блок работы дополняет другой, наблюдается плавный переход от части к части. Таким образом, в рассматриваемой работе автор проявил умение разбираться в терминах, касающихся данной темы, систематизировал материал и обобщил его, благодаря чему углубляются школьные представления об исследуемой теме.

6. Теоретическая и практическая значимость: использование материала на уроках и факультативных занятиях по математике и информатике.

7. Выводы: проектная работа Супранович А. П. по теме: «Геометрические фракталы в природе» отвечает требованиям, предъявляемым к индивидуальному проекту и рекомендуется к защите.

РЕЦЕНЗЕНТ ____________ Качурина В.Е.

«______» марта 2017 года

Приложения

Приложение № 1

Цветок георгина

Морской еж

Форма листа папоротника – образец классического фрактала

Приложение № 2

Капуста сорта Романеско

Приложение № 3

Фракталы в природе:

Приложение № 4

Технология изготовления

1 ^{https://ru.wikipedia.org/wiki/Фракталhttp://www.krasfun.ru/2010/09/fraktaly-v-prirode/}

http://fb.ru/article/139068/chto-takoe-fraktal-fraktalyi-v-prirode

2^{Бенуа Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы = The Fractal Geometry of Nature. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002}

3^{морфология – комплекс наук, изучающих форму и строение животных и растительных организмов}

4 ^{Вяжем крючком № 12 (декабрь 2016 года)}

5 ^{http://clubmasteric.ru/prazdniki/novii-god/839-shemi-vasanija-sneginok-kruchkom.html}

16

Просмотров работы: 1197

Развивайте свои навыки распознавания образов в лесу

«Изучите науку об искусстве. Изучите искусство науки. Развивайте свои чувства — особенно научитесь видеть. Поймите, что все связано со всем остальным ».

— Леонардо да Винчи

С детства меня восхищали похожие узоры и формы, которые природа повторяет вокруг нас. Структура такого количества органической жизни следует самоподобным фрактальным образцам, которые можно наблюдать в цветах, деревьях, растениях и даже в горах и на побережье.

Термин фрактал был введен математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. В своей основополагающей работе Фрактальная геометрия природы он определяет фрактал как «грубую или фрагментированную геометрическую форму, которую можно разделить на части, каждая из которых ( по крайней мере, приблизительно) копия целого в уменьшенном размере ».

Мандельброт наиболее известен своим математическим открытием Множества Мандельброта, которое можно запрограммировать в виде базовых строк кода, которые создают бесконечный поток изменяющихся самоподобных паттернов.

Вот отличный пример набора Мандельброта:

Фрактал — это узор, который законы природы повторяются в разных масштабах. Примеры везде в лесу. Деревья — это естественные фракталы, узоры, которые повторяют все меньшие и меньшие копии самих себя, чтобы создать биоразнообразие леса.

Каждая ветка дерева, от ствола до кончиков, является копией той, которая была перед ней. Это основной принцип, который мы снова и снова видим во фрактальной структуре органических форм жизни во всем мире природы.

Хотите узнать больше о преимуществах связи с природой и внимательного изучения своих чувств для психического здоровья? Загрузите мое бесплатное руководство по изучению искусства и науки экологической осознанности.

Где в природе наблюдать фракталы:

Прогуливаясь по лесу, вы найдете фрактальные узоры в сетчатых узорах ветвления повсюду среди папоротников, деревьев, корней, листьев и грибного мицелия в почве.

Вы также найдете их по всему миру природы в узорах ручьев, рек, береговых линий, гор, волн, водопадов и капель воды.

Вот несколько примеров фрактальных узоров в природе:

1. Деревья

Деревья — прекрасные примеры фракталов в природе. Вы найдете фракталы на каждом уровне лесной экосистемы, от семян и шишек до ветвей и листьев, а также до самоподобных копий деревьев, папоротников и растений по всей экосистеме.

2. Дельты рек

Эти аэрофотоснимки НАСА дельты реки Иравади (также называемой Иравади) в Мьянме являются отличным примером фрактального разветвления экосистем дельты реки.

3. Спирали роста

Вы также найдете фрактальные модели в спиралях роста, которые следуют последовательности Фибоначчи (также называемой золотой спиралью) и могут рассматриваться как частный случай самоподобия.

4. Цветы

Понаблюдайте за самовоспроизводящимися узорами цветения цветов, чтобы привлечь пчел. Сады — прекрасное место для изучения фрактальной природы роста.

5. Романеско Брокколи

Вы не найдете его в лесу, но этот съедобный цветочный бутон вида Brassica oleracea (брокколи) из Италии является полезным и восхитительным примером фрактальной геометрии.

У этих договоренностей есть объяснения на разных уровнях — математике, физике, химии, биологии. Вот что Википедия говорит о том, что ученые наблюдали в отношении этих закономерностей в природе:

«С точки зрения физики, спирали представляют собой конфигурации с наименьшей энергией, которые возникают спонтанно в результате самоорганизующихся процессов в динамических системах. С точки зрения химии, спираль может быть образована процессом реакции-диффузии, включающим как активацию, так и ингибирование.Филлотаксис контролируется белками, которые манипулируют концентрацией растительного гормона ауксина, который активирует рост меристемы, наряду с другими механизмами, контролирующими относительный угол почек вокруг стебля. С биологической точки зрения размещение листьев как можно дальше друг от друга в любом заданном пространстве — из в пользу естественного отбора, поскольку это максимизирует доступ к ресурсам, особенно солнечному свету для фотосинтеза ».

Фракталы сверхэффективны по своей конструкции, что позволяет растениям максимально воздействовать на них солнечным светом, а также эффективно переносить питательные вещества по всей своей клеточной структуре.Эти фрактальные модели роста обладают как математической, так и физической красотой.

Фракталы, экология и биомимикрия:

Итак, почему фракталы важны для экологического сознания? В книге по экологии Finding Our Way Home автор Майк Джонсон отмечает, что наша способность измерять фрактальные закономерности в мире природы также дала нам:

«Возможность создавать цифровые миры, которые напоминают нам наши собственные. Фрактальные формулы используются для создания компьютерной графики, которая реалистично выглядит как горные хребты, реки, леса и облака.

Fractals были использованы для разработки антенн значительно уменьшенных размеров, что позволило создать следующее поколение сотовых телефонов и других электронных коммуникаторов. Фрактальная геометрия расширяет нашу способность создавать новые устройства, которые работают лучше, потому что они следуют шаблонам, которые резонируют с естественными шаблонами вокруг нас ».

Разве это не удивительно? Биомимикрия в действии.

Фракталы также внушают трепет и удивление, особенно когда вы уделяете все свое внимание исследованию и осознанному изучению их в естественной среде, такой как леса.Чтобы расширить ваше понимание фракталов, я настоятельно рекомендую посмотреть документальный фильм Fractals: Hunting The Hidden Dimension .

Просмотр поможет вам в дальнейшем развить свои навыки распознавания образов, чтобы вы могли распознавать и понимать фрактальные модели вокруг вас.

Если вы хотите поэкспериментировать с созданием собственных фрактальных паттернов, попробуйте поиграть с Xaos, бесплатным инструментом от Fractal Foundation для тех, кто хочет проявить творческий подход с фракталами.

Существуют ли фракталы в природе?

Что такое фракталы?

Фракталы — это объекты, в которых одни и те же шаблоны повторяются снова и снова в разных масштабах и размерах.

В идеальном математическом фрактале, таком как знаменитое множество Мандельброта, показанное выше, это «самоподобие» бесконечно глубокое: каждый узор состоит из уменьшенных копий самого себя, а эти уменьшенные копии снова состоят из меньших копий, навсегда.

Где в природе можно увидеть фракталы?

Многие природные явления до некоторой степени фрактальны.Ниже приведены изображения некоторых из самых ярких фракталов в природе .

Сеть жилок, перемещающих жидкости внутри листа, демонстрирует четкую фрактальную структуру. Система кровообращения животных аналогична. Предоставлено: Пол Оомен / Гетти Шестикратная симметрия этой снежинки, обусловленная микроскопической кристаллической структурой льда, повторяется несколько раз. Из центрального шестиугольника прорастают еще шесть грубых шестиугольников, а на внешних углах их образуется еще больше шестиугольных выростов. Предоставлено: Ян Куминг / Гетти. Это изображение, полученное путем разряда высокого напряжения через непроводящий материал, известное как фигура Лихтенберга, показывает повторяющуюся самоподобную характеристику ветвления фрактала.Предоставлено: Photo Researchers / Getty. Известный как цветная капуста Romanesco, брокколи Romanesco или даже брокколи, этот родственник более распространенных капустных сортов имеет поразительно фрактальный вид. Самоподобные конические выступы состоят по спирали из крохотных бутонов. Предоставлено: Фухито Канаяма / GettyBraded ледниковые речные русла в южных Альпах Новой Зеландии демонстрируют крупномасштабное и мелкомасштабное ветвление и рекомбинацию. Предоставлено: Дэвид Клэпп / Гетти. Во многих деревьях, таких как этот платан, центральный ствол разветвляется на две или более ветки, которые сами снова и снова разветвляются на более тонкие и тонкие ветви, прежде чем окончательно оканчиваются крошечными ветками.На этом изображении можно насчитать семь или более уровней ветвления. Предоставлено: Берндт Фишер / Гетти

Ссылки по теме: Мистика математики

Майкл Люси

Майкл Люси — бывший редактор функций Cosmos.

Читайте научные факты, а не беллетристику …

Никогда еще не было более важного времени для объяснения фактов, сохранения знаний, основанных на фактах, и для демонстрации последних научных, технологических и инженерных достижений.»Космос» издается Королевским институтом Австралии, благотворительной организацией, призванной связывать людей с миром науки. Финансовые взносы, какими бы большими они ни были, помогают нам предоставлять доступ к достоверной научной информации в то время, когда она больше всего нужна миру. Пожалуйста, поддержите нас, сделав пожертвование или купив подписку сегодня.

фракталов в природе

Проявление фракталов в природе: раковина улитки, млечный путь, жилки листа и мотонейрон.

Фрактальные Кактусы

«Все ответвления водотока на каждой стадии его течения, если они имеют одинаковую скорость, равны основному водотоку.»- Леонардо да Винчи

На планете Земля есть фрактальные сети рек, по которым осадки переносятся с суши в океаны. Как и все фракталы, эти сложные самоподобные паттерны образуются в результате повторения простого процесса формирования каналов из-за эрозии. Речная сеть собирает огромное количество осадков с очень большой площади суши и конденсирует их на небольшой площади.

Молния распространяется не по прямым линиям, а по хаотичному и неровному пути. Молния может быть очень большой, охватывая несколько миль, но она образуется за микросекунды.Гром — фрактальный звук. Это вызвано перегревом воздуха. Поскольку путь молнии представляет собой зубчатый фрактал в трехмерном пространстве, время, необходимое для достижения наших ушей, варьируется, и, следовательно, звук, который мы слышим, представляет собой фрактальный узор.

Галактики — крупнейшие известные спиральные фракталы. Одна спиральная галактика может содержать триллион звезд. Спиральные рукава не содержат большего количества звезд, но все же спиральные рукава ярче, потому что они содержат много короткоживущих чрезвычайно ярких звезд, образованных вращающейся спиральной волной звездообразования.Волны звездообразования становятся видимыми, потому что они содержат множество молодых и очень ярких звезд, которые живут короткое время, возможно, 10 миллионов лет, по сравнению с более обычными звездами, такими как наше Солнце, которые живут несколько миллиардов лет. Ураганы или циклоны — самые большие спирали здесь, на Земле. Царство растений также полно спиралей, что подтверждается многими кактусами, цветами, фруктами, сосновыми шишками и т. Д. Другим примером является раковина наутилуса, и здесь простая комбинация вращения и расширения создает спираль.(На рисунках на этой странице изображены закономерности в природе. В регулярности затмений, расположении семян в головке подсолнечника или спирали раковины наутилуса природа демонстрирует периодический узор . Этот принцип точно соответствует принципу расположение электронов в атомах, которое периодически повторяется, что вызывает периодическое повторение многих свойств элементов и, таким образом, позволяет нам предсказывать физическое и химическое поведение.)

Фракталы: Геометрический код природы

Теорема Пифагора, формулы для вычисления площади поверхности и объема геометрических фигур, число пи … Это все концепции классической или евклидовой геометрии, преподаваемые в школах, наряду с аналитической геометрией (которая переводит эти фигуры в алгебраические выражения, такие как функции или уравнений), и точно отражают мир, созданный людьми .

Но что, если бы за моделями поведения природы стояла «грубая» геометрия? Геометрия, которая не отражает мир, созданный людьми, как и все, что было здесь до нашего существования , и даже функционирование наших собственных тел. Новая перспектива для расшифровки естественных процессов, происходящих вокруг нас: фрактальная геометрия появилась (и осталась) в конце прошлого века.

Открытие фрактальной геометрии всего 50 лет назад позволило нам математически исследовать «аномалии» природы во многих их формах.Какая логика определяет рост ветвей деревьев? Или горные вершины, или даже пути молний во время шторма, цикл роста микробов или образование звезд в галактике. Все эти природные явления можно расшифровать благодаря фрактальной геометрии.

Изображение: брокколи Романеско является ярким примером принципа самоподобия фракталов / Источник: Unsplash

Согласно математическому принципу самоподобия, одна и та же форма повторяется в постепенно уменьшающемся масштабе до бесконечности, т.е.е., идентичная форма внутри предыдущей и т. д. До бесконечности. Формы, ритмы, звуки или траектории, потому что все эти явления можно разбить на самовоспроизводящиеся структуры. Самовоспроизводство — ключевая особенность фракталов.

«Облака — это не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не круги, кора не гладкая, и молния не движется по прямой». Это было заявление, сделанное в конце 1970-х Бенуа Мандельбротом, математиком, который в 1975 году ввел термин «фрактал» (от латинского «фрактус» — «сломанный»).В то время Мандельброт работал в IBM в Исследовательском институте Томаса Уотсона в Нью-Йорке после преподавания в нескольких американских университетах. Его задача заключалась в том, чтобы выяснить, почему в телекоммуникационной системе, над которой он работал, есть помехи белого шума . Бенуа Мандельброт (1924-2010), рожденный в Польше и натурализованный французом и американцем в контексте Второй мировой войны, обладал исключительно зрительным складом ума. Это позволило ему найти математическую основу фракталов, хотя эти фигуры казались человеческому глазу неправильными.

Математика: линза мощнее микроскопа

Следуя своему инстинкту интерпретировать проблемы в визуальных терминах, Мандельброт проанализировал график, представляющий турбулентность белого шума, и обнаружил, что независимо от масштаба графика данные за день, час или секунду всегда имели одинаковый образец . Именно тогда он обратился к работам математиков Пьера Фату (1878-1929) и Гастона Мориса Жюлиа (1893-1978), изучавших итерацию функций (основу принципа самоподобия в математике).Используя мощные компьютеры, Мандельброт смог бесконечно воспроизводить это уравнение, чтобы получить один из самых знаковых образов науки — набор Мандельброта . Эта странно органичная и неправильная форма следует математическому принципу фрактального самоподобия и может бесконечно расширяться: узор краев постоянно повторяется по мере того, как человек смотрит глубже в изображение.

Изображение: визуализация множества Мандельброта, построенного из уравнения, бесконечно воспроизводимого компьютером. / Источник: Викимедиа, автор: Ларс Х.Rohwedder

Спустя годы Мандельброт опубликовал Fractal Geometry of Nature (1982), работу, которая привлекла внимание и заслужила признание создателя новой области знаний. Как математик, которого академия считала неортодоксальным, Мандельброт утверждал, что фракталы более естественны и интуитивно понятны, чем объекты, основанные на евклидовой геометрии, искусственно созданные и упорядоченные человечеством. Хотя Мандельброт был не единственным ученым, ответственным за рождение фрактальной геометрии, он буквально сформировал предыдущие знания, используя возможности компьютеров. В науке, как и во фракталах, всегда есть интеллектуальная форма внутри более крупной, хотя в этом случае принцип самоподобия не выполняется. Благодаря открытию фракталов, впервые простое уравнение может объяснить формы большой сложности, которые, более того, со временем, как было показано, возникают в более крупных процессах природы.

Дори Гаскуэнья для OpenMind

Фракталы в природе и приложениях

Фракталы в природе и приложениях

Следующая: Теоретические методы фракталов
Up: Введение
Предыдущая: Введение

Фракталы — это не просто сложные формы и красивые картинки, созданные
компьютеры.Все, что кажется случайным и неправильным, может быть фракталом.
Фракталы пронизывают нашу жизнь, появляясь в таких крошечных местах, как мембрана.
клетки и столь же величественный, как солнечная система. Фракталы уникальны,
неправильные узоры, оставленные непредсказуемыми движениями
хаотический мир на работе.

Теоретически можно утверждать, что все, что существует в этом мире, является фракталом:

• разветвление трахеальных трубок,
• листья на деревьях,
• вены в руке,
• закручивание и закручивание воды из крана,
• пухлое кучевое облако,
• крошечная молекула кислорода, или молекула ДНК,
• фондовый рынок

Все это фракталы.От людей древних цивилизаций до
создатели Star Trek II: The Wrath of Khan, ученые, математики
и художники были очарованы фракталами и использовали их
в своей работе.

Фракталы всегда ассоциировались с термином хаос.
Один автор элегантно описывает фракталы как «образцы хаоса».
Фракталы изображают хаотическое поведение, но если присмотреться, это
всегда можно заметить проблески самоподобия внутри фрактала.

Для многих хаологов изучение хаоса и фракталов — это больше, чем просто
новое направление в науке, объединяющее математику, теоретическую физику, искусство,
а информатика — это революция.Это открытие нового
геометрия, которая описывает безграничную вселенную, в которой мы живем; тот, который
в постоянном движении, а не как статичные изображения в
учебники. Сегодня многие ученые пытаются найти применение фракталу.
геометрии, от прогнозирования цен на фондовом рынке до новых открытий в
теоретическая физика.

Фракталы находят все больше и больше приложений в науке.
Основная причина в том, что они очень часто лучше описывают реальный мир.
чем традиционная математика и физика.

Астрономия

Возможно, фракталы произведут революцию в восприятии Вселенной.
Космологи обычно предполагают, что материя равномерно распределена по пространству.
Но наблюдение показывает, что это не так. Астрономы согласны с этим
предположение о «малых» масштабах, но большинство из них думают, что Вселенная
гладкая на очень больших масштабах. Однако диссидентская группа
Ученые утверждают, что структура Вселенной фрактальна на всех уровнях.Если эта новая теория окажется верной, даже модели большого взрыва должны быть адаптированы.
Несколько лет назад мы предложили новый подход к анализу корреляций галактик и скоплений, основанный на концепциях и методах современной статистической физики.
Это привело к удивительному результату: корреляции галактик фрактальны и неоднородны в пределах имеющихся каталогов.
Тем временем было измерено еще много красных смещений, и мы расширили наши методы также на анализ подсчета чисел и угловых каталогов.Результат
состоит в том, что структуры галактик очень нерегулярны и самоподобны. Поэтому обычные статистические методы, основанные на предположении об однородности, несовместимы для всех
шкалы длины исследовали до сих пор. Для определения реальных физических свойств этих структур необходима новая, более общая концептуальная основа.
Но в настоящее время космологам нужно больше данных о распределении материи во Вселенной, чтобы доказать (или нет), что мы живем во фрактальной Вселенной.

Природа

Возьмем, к примеру, дерево.Выберите конкретную ветку и внимательно изучите ее. Выберите пучок листьев на ветке. Для хаологов все три описываемых объекта —
дерево, ветка и листья — идентичны.
Для многих слово хаос предполагает случайность, непредсказуемость и, возможно, даже беспорядок.
Хаос на самом деле очень организован и следует определенным шаблонам. Проблема возникает при нахождении этих неуловимых и замысловатых узоров. Одна цель изучения хаоса
через фракталы — это предсказание закономерностей в динамических системах, которые на поверхности кажутся непредсказуемыми.Система — это совокупность вещей, область изучения.
движение водных течений или модели миграции животных.
Погода — любимый пример для многих. Прогнозы никогда не бывают полностью точными, а долгосрочные прогнозы даже на одну неделю могут быть совершенно неверными. Это связано с
незначительные нарушения в потоке воздуха, солнечное отопление и т. д. Каждое нарушение может быть незначительным, но создаваемое им изменение со временем будет увеличиваться геометрически.Скоро погода будет
будет сильно отличаться от того, что ожидалось.
С помощью фрактальной геометрии мы можем визуально моделировать многое из того, что мы видим в природе, наиболее узнаваемыми являются береговые линии и горы. Фракталы используются для моделирования почвы
эрозии, а также для анализа сейсмических структур.
Видя, что так много граней матери-природы проявляют фрактальные свойства, может быть, весь мир вокруг нас все-таки фрактал!

Информатика

На самом деле, наиболее полезное использование фракталов в информатике — это фрактальное сжатие изображений.Этот вид сжатия использует тот факт, что реальный мир хорошо
описывается фрактальной геометрией. Таким образом изображения сжимаются намного сильнее, чем обычные способы (например, форматы файлов JPEG или GIF). Еще одно преимущество фрактала
сжатие заключается в том, что при увеличении изображения пикселизация отсутствует.
Картинка очень часто кажется лучше, когда ее увеличивают.

Механика жидкостей

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подходит для фракталов.Турбулентные потоки хаотичны и их очень сложно правильно смоделировать. Их фрактальное представление помогает
инженеры и физики, чтобы лучше понимать сложные потоки. Также можно смоделировать пламя.
Пористые среды имеют очень сложную геометрию и хорошо представлены фракталом, что фактически используется в нефтяной науке.

Телекоммуникации

Новое применение — антенны в форме фракталов, которые значительно уменьшают размер и вес антенн.Fractenna — это компания, которая продает эти антенны.
Выгоды зависят от применяемого фрактала, частоты интереса и так далее. В общем, фрактальные части создают «фрактальную нагрузку» и уменьшают размер антенны на некоторое время.
заданная частота использования. Для приемлемых характеристик возможна практическая усадка в 2-4 раза. Достигнута удивительно высокая производительность.

Физика поверхности

Фракталы используются для описания шероховатости поверхностей.
Шероховатая поверхность характеризуется сочетанием двух разных фракталов.

Медицина

Взаимодействие биосенсоров можно изучать с помощью фракталов.

Следующая: Теоретические методы фракталов
Up: Введение
Предыдущая: Введение

Удивительных фракталов, найденных в природе ~ Fractal Enlightenment

Фракталы всегда очаровывали меня сложностью узоров, которые могут быть бесконечно сложными по своей природе и одновременно простыми.

Фрактальные цветы в Долине цветов в Уттаранчале

Это похоже на фрагмент объекта, который самоподобен целому, и когда вы поймете, что такие фрактальные узоры или более известные как строительные блоки Бога окружают нас, это оставит вас в изумлении — облака, деревья, растения, горные хребты, различные овощи или береговые линии, хлопья снега, молнии и т. д.

Конечно, есть несколько программ для генерации фракталов, которые могут помочь вам создавать фракталы и экспериментировать с ними, но ничего похожего на обнаружение закономерностей в природе.Мы собрали коллекцию фотографий, сделанных нами во время наших поездок, которые сознательно или неосознанно представляют фракталы.

Цветы

Одно из прекрасных творений природы — цветы — тоже могут быть фракталами, и они добавляют новое измерение всему ландшафту.

Красный многолепестковый цветок

Красивый лотос

Букет цветов Каждый букет имеет одинаковый узор, и каждый крошечный цветок —

Фрукты / овощи

Повторяющиеся узоры также встречаются во фруктах и ​​овощах, и их часто не замечают.

Фракталы в ананасе

Узоры на джекфруте

Горькая тыква может и не быть популярным овощем, но, безусловно, является прекрасным примером фракталов в природе.

Горькая тыква, прекрасный образец фракталов

Брокколи — еще один овощ со спиральными фрактальными узорами, которые просто потрясающе выглядят.

Растения / деревья

Что-то такое простое, как лист, может иметь фракталы, как показано ниже. Макросъемка листа показывает жилки, образующие нерегулярный повторяющийся узор.

Фракталы на листе

Фрактальный папоротник

Дикое растение это Мандельброт или Джулия?

Это мой любимый, с которым я столкнулся в Куала-Лумпуре, Малайзия. Короны отдельных деревьев (Dryobalanops aromatica или камфорное дерево) образуют мозаичный узор. Это явление называется «застенчивостью короны», потому что кажется, что кончики листьев отклоняются друг от друга, оставляя промежутки в несколько дюймов.

Короны деревьев, образующих фракталы

Ветвящееся дерево тоже образует фракталы.

Схема ветвления дерева

Фрактальные горы

Это прекрасный пример фракталов на горном массиве.

Это прекрасная картинка, если вы внимательно посмотрите на восходящую луну на заднем плане, вверху слева, движущееся облако и фракталы для улучшения обзора.

Fractular Mountains вы можете увидеть три больших пика, а затем три маленьких слева от больших! Красивый 🙂

Облака

Если вы регулярно наблюдаете за небом, вполне вероятно, что вы наткнетесь на что-то подобное.Величественный вид на заходящее солнце с фрактальными облаками, идеальный момент, сделанный в Мумбаи.

Фракталы в небе

Насекомое

Гусеница медленно и неуклонно жевала лист, она съела довольно много за день.

Гусеница на листе, каждый сегмент — идеальное воспроизведение геометрии Вселенной!

Почему фракталы так успокаивают

Когда Ричарду Тейлору было 10 лет в начале 1970-х, он случайно наткнулся на каталог картин Джексона Поллока.Он был загипнотизирован, или, может быть, лучше сказать — Поллокомизирован. Франц Месмер, сумасшедший врач 18-го века, предположил существование животного магнетизма между неодушевленными и одушевленными объектами. Абстракции Поллока, казалось, также вызывали у зрителя определенное психическое состояние. Будучи физиком из Университета Орегона, Тейлор думает, что понял, что такого особенного в этих Поллоках, и ответ имеет глубокое значение для человеческого счастья.

Этот вопрос не всегда занимал его профессиональное время.Работа Тейлора заключается в поиске наиболее эффективных способов перемещения электричества: через множество притоков, например, в речных системах, или в легочных бронхах или корковых нейронах. Когда токи проходят через такие предметы, как телевизоры, движение электронов упорядочено. Но в более новых, крошечных устройствах, которые могут быть всего в 100 раз больше атома, порядок токов нарушается. Это больше похоже на упорядоченный хаос. Паттерны токов, такие как ветви в легких и нейронах, фрактальны, что означает, что они повторяются в разных масштабах.Теперь Тейлор использует «биовдохновение», чтобы разработать лучшую солнечную панель. Если солнечные панели природы — деревья и растения — разветвляются, почему бы не произвести панели?

Тейлор описывает себя как мыслитель, который перепрыгивает через дисциплины для решения проблем. Он не только физик, но и художник и фотограф с ученой степенью в области искусства. В кампусе он известен как эксцентричный человек. В поисках идей он часто плывет по озеру Уолдо в Орегоне, а его волосы настолько знамениты, что почти отвлекают.Длинный и вьющийся, он напоминает отличительные локоны сэра Исаака Ньютона в его расцвете сил. Управление по связям с общественностью университета однажды фактически фотошопировало его из публикации.

На протяжении своей извилистой карьеры Тейлор никогда не терял интереса — а точнее, одержимости — Поллоком. Во время учебы в Манчестерской школе искусств он построил шаткий маятник, который разбрызгивал краску, когда дул ветер, потому что хотел посмотреть, как рисует «природа», и не будет ли она похожа на Поллока (так оно и было.Несколько лет назад, когда он работал над наноэлектроникой, у него было основополагающее озарение. «Чем больше я смотрел на фрактальные узоры, тем больше мне напоминали литые картины Поллока», — рассказал он в эссе. «И когда я посмотрел на его картины, я заметил, что брызги краски, казалось, растекались по его холстам, как поток электричества через наши устройства».

Используя инструменты, предназначенные для измерения электрических токов, Тейлор исследовал серию Поллоков 1950-х годов и обнаружил, что картины действительно были фрактальными.Это было немного похоже на открытие того, что ваша любимая тетя говорит на тайном, древнем языке. «Поллок нарисовал фракталы природы на 25 лет раньше своего научного открытия!» Он опубликовал открытие в журнале Nature в 1999 году, вызвав переполох в мире искусства и физики.

Бенуа Мандельброт впервые ввел термин «фрактал» в 1975 году, обнаружив, что простые математические правила применимы к огромному количеству вещей, которые выглядели визуально сложными или хаотичными. Как он доказал, фрактальные узоры часто встречаются в неровностях природы — в облаках, береговой линии, листьях растений, океанских волнах, подъемах и падениях реки Нил и скоплениях галактик.Чтобы понять фрактальные модели в разных масштабах, представьте себе ствол дерева и ветку: они могут иметь те же углы, что и та же ветка и меньшая ветвь, а также сходящиеся жилки листа на этой ветке. И так далее. У вас могут быть фракталы, создающие нечто похожее на хаос.

Тейлору было любопытно узнать, могут ли фракталы в Поллоках объяснить, почему людей так тянет к ним, а также к таким вещам, как пульсирующие заставки и световые шоу в планетарии.Можно ли свести великие произведения искусства к некоторым нелинейным уравнениям? Спросит только физик. Поэтому Тейлор проводил эксперименты, чтобы измерить физиологическую реакцию людей на просмотр изображений с похожей фрактальной геометрией. Он измерил проводимость кожи людей (показатель активности нервной системы) и обнаружил, что они восстанавливаются после стресса на 60 процентов лучше при просмотре компьютерных изображений с математической фрактальной размерностью (называемой D) от 1,3 до 1,5. D измеряет соотношение крупных грубых узоров (береговая линия, видимая с плоскости, основной ствол дерева, большие брызги Поллока) к мелким (дюны, скалы, ветви, листья, брызги микровыражений Поллока) .Фрактальное измерение обычно обозначается числом от 1 до 2; чем сложнее изображение, тем выше D.

«Мы проанализировали модели Поллока с помощью компьютеров и сравнили их с лесами, и они точно такие же».

Затем Тейлор и Кэролайн Хэгерхэлл, шведский экологический психолог, специализирующийся на эстетическом восприятии человека, преобразовали серию фотографий природы в упрощенное изображение фрактальных силуэтов рельефа на фоне неба. Они обнаружили, что люди в подавляющем большинстве предпочитают изображения с низким и средним значением D (между 1.3 и 1.5.) Чтобы выяснить, вызывает ли это измерение определенное психическое состояние, они использовали ЭЭГ для измерения мозговых волн людей при просмотре геометрических фрактальных изображений. Они обнаружили, что в той же пространственной магической зоне лобные доли испытуемых легко производили альфа-волны хорошего самочувствия в состоянии бодрствования и расслабления. Это происходило даже тогда, когда люди смотрели на изображения всего одну минуту.

ЭЭГ измеряет волны или электрическую частоту, но не отображает в точности активную область мозга.Для этого Тейлор обратился к функциональной МРТ, которая показывает наиболее напряженные части мозга, визуализируя кровоток. Предварительные результаты показывают, что фракталы среднего уровня активируют некоторые ожидаемые области мозга, такие как вентролатеральная кора (участвующая в визуальной обработке высокого уровня) и дорсолатеральная кора, которая кодирует пространственную долговременную память. Но эти фракталы также задействуют парагиппокамп, который участвует в регулировании эмоций и также очень активен при прослушивании музыки.Для Тейлора это отличная находка. «Мы были рады обнаружить, что [средние фракталы] похожи на музыку», — сказал он. Другими словами, взгляд на океан может оказать на нас такое же эмоциональное воздействие, как и прослушивание Брамса.

Тейлор считает, что наш мозг распознает это родство с миром природы — излюбленное измерение Поллока похоже на деревья, снежинки и минеральные жилы. «Мы проанализировали модели Поллока с помощью компьютеров и сравнили их с лесами, и они точно такие же», — сказал Тейлор.Это измерение не просто убаюкивает нас; он может заинтересовать нас, внушить трепет и заставить задуматься.

Но почему средний диапазон D (помните, это соотношение крупных и мелких узоров) так волшебен и так популярен среди большинства людей? У Тейлора и Хэгерхелла есть интересная теория, и она не обязательно имеет отношение к романтическому тоску по Аркадии. Помимо легких, капилляров и нейронов, на фракталы разветвляется еще одна человеческая система: зрительная система, выражаемая движением сетчатки глаза.Когда Тейлор использовал машину для отслеживания взгляда, чтобы точно измерить, где зрачки людей фокусируются на проецируемых изображениях (например, картин Поллока, а также других вещей), он увидел, что ученики использовали шаблон поиска, который сам был фрактальным. Глаза сначала сканировали большие элементы сцены, а затем выполняли микропроходы в уменьшенных версиях больших сканирований, и это происходит в среднем диапазоне D. Интересно, что если вы проведете линию по следам, которые животные оставляют для кормления, еда, например, альбатросы, изучающие океан, вы также видите эту фрактальную структуру поисковых траекторий.»Это просто эффективная стратегия поиска», — сказал Тейлор.

«Ваша зрительная система каким-то образом запрограммирована на понимание фракталов», — сказал Тейлор. «Снижение стресса запускается физиологическим резонансом, который возникает, когда фрактальная структура глаза совпадает со структурой просматриваемого фрактального изображения». Если сцена слишком сложна, например, на перекрестке с городом, мы не можем легко ее охватить, а это, в свою очередь, приводит к некоторому дискомфорту, даже если он подсознательный. Имеет смысл, что наша зрительная кора будет чувствовать себя как дома среди наиболее обычных природных особенностей, вместе с которыми мы развивались.Так что, возможно, часть нашего комфорта на природе происходит от быстрой обработки изображений.

Если причина нашего расслабления не полностью уходит корнями в торовский роман, решение, несомненно, таково.